ARITMETICA E ALGEBRA La proprietà associativa ATTENZIONE! A C Come approfondiremo più avanti, le parentesi indicano precedenza tra operazioni. Una operazione tra le parentesi più interne va eseguita prima delle altre. KEYWORDS K p proprietà associativa / associative property Già sappiamo che se dobbiamo eseguire una operazione tra più elementi, è spesso possibile associarli in modo da favorire la rapidità e la semplificazione del calcolo. Per esempio, per calcolare: 1 + 99 + 37 conviene immaginare di riscrivere l espressione con parentesi: (1 + 99) + 37 eseguendo così prima il calcolo più immediato. Una operazione che offre questa possibilità ha la proprietà associativa. L addizione e la moltiplicazione sono, per esempio, operazioni per le quali vale la proprietà associativa. Infatti, comunque si scelgano tre numeri reali a, b, c, abbiamo: (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) DEFINIZIONE Una operazione, indicata con *, definita in un insieme A, è associativa, se scelti comunque tre elementi a, b, c di A, abbiamo: (a * b) * c = a * (b * c) Un esempio di operazione non associativa è la sottrazione. Per esempio: (3 2) 1 = 0 mentre 3 (2 1) = 2 In generale: (a b) c a (b c) esempio O L operazione di divisione è associativa? cioè in generale vero che (a : b) : c = a : (b : c)? FISSA I CONCETTI (a * b) * c = a * (b * c) indica la proprietà associativa dell operazione * se vale per ogni a e per ogni b elementi di A. Consideriamo per esempio a = 24, b = 6, c = 2: (a : b) : c = (24 : 6) : 2 = 2 a : (b : c) = 24 : (6 : 2) = 8 I risultati sono diversi: la divisione non è perciò associativa. La proprietà distributiva Consideriamo la moltiplicazione tra due numeri reali qualsiasi, per esempio 34 e 26. Con l usuale algoritmo calcoliamo il prodotto 34 26: 34 26 = 204 risultato di 34 6 68 risultato di 34 20 884 Nella prima riga abbiamo scritto il risultato di 34 6, nella seconda quello di 34 20. Abbiamo così riscritto uno dei due fattori, 26, come somma di due termini, 6 + 20, e abbiamo distribuito la moltiplicazione per 34 tra i due termini: 34 26 = 34 (6 + 20) = 34 6 + 34 20 = 204 + 680 = 884 98