Il Maraschini-Palma - volume 1

ARITMETICA E ALGEBRA _ Elevando al quadrato 2 si ottiene 2 perciò, dall uguaglianza precedente, ricaviamo: ATTENZIONE! A El Elevando al quadrato un numero, gli esponenti dei fattori primi in cui si scompone si raddoppiano. Per esempio: 60 = 22 3 5 mentre: 602 = 24 32 52 a2 2 = _2 b Ora, elevare un numero al quadrato significa elevare al quadrato le singole potenze dei fattori primi in cui esso si scompone. I fattori primi del numero a2 sono perciò gli stessi di a, con gli esponenti raddoppiati. Anche a2 e b2, avendo rispettivamente gli stessi fattori di a e b, sono primi tra loro. a2 La frazione _2 non si può perciò semplificare. Non può quindi essere equivab lente a un numero intero; in particolare, non può essere uguale a 2. Perciò: _ 2 APPROFONDIMENTO A Q Questa è una dimostrazione per assurdo. Per dimostrare la tesi si assume come ipotesi la negazione della tesi. Se, a partire da tale ipotesi assurda, si arriva a una contraddizione, allora l enunciato è vero. ATTENZIONE! A U numero si dice quadrato Un perfetto quando è il quadrato di un numero naturale. 4, 9, 16, , 144, sono quadrati perfetti, perché quadrati di 2, 3, 4, , 12, . a a _ 2 _ 2 b_ b2 L ipotesi che 2 sia una frazione non è dunque vera. Era l ipotesi che avevamo formulato per assurdo e, quindi, il teorema è dimostrato. c.v.d. _ Oltre a 2 vi sono altri infiniti numeri che non possono essere scritti come frazione. Per esempio, tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti non si possono scrivere come frazioni e, perciò, non sono numeri razionali: _ Q 3 non è un quadrato perfetto: _ 3 non è un numero razionale; Q 4 è un quadrato perfetto: 4 = _ 2 è un numero razionale; Q 5 non è un quadrato perfetto: 5 non è un numero razionale. Inoltre _ si possono anche considerare i numeri non razionali negativi: per esempio 2. esempio O I seguenti numeri non sono razionali. Stabilisci tra quali numeri interi sono compresi. _ a. 3 Poiché 3 è compreso tra i quadrati perfetti 1 e 4 allora: _ _ _ 1 < 3 < 4 _ 1 < 3 < 2 Ragionando nello stesso modo deduciamo che: _ _ b. 5 2 < 5 < 3 c. 6 2 < 6 < 3 _ _ d. 20 _ _ 5 < 20 < 4 KEYWORDS K n numero irrazionale / irrational number 94 I numeri non razionali sono detti numeri irrazionali e indichiamo l insieme di appartenenza con la I maiuscola. _ Se proviamo a estrarre la 2 ciò che otteniamo è un numero decimale illimitato non periodico: 1,4142135 I numeri irrazionali, quindi, hanno la parte decimale formata da infinite cifre senza alcun periodo; pertanto essi non possono essere scritti come frazioni.

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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.