2 Insiemi numerici e operazioni elementari 6 L insieme dei numeri Esercizi da pag. 133 reali: R 6.1 I numeri irrazionali Secondo una concezione ingenua, si potrebbe pensare che un segmento sia costituito da un numero finito di punti, magari molto grande. Se così fosse, il rapporto tra le lunghezze di due segmenti sarebbe sempre un numero razionale; potrebbe, infatti, essere sempre rappresentato dalla frazione: numeri dei punti del primo segmento ___________________________ numeri dei punti del secondo segmento Secondo questa idea, tutti i segmenti sarebbero commensurabili, nel senso che potrebbero essere riferiti alla stessa unità indivisibile; la loro lunghezza potrebbe essere espressa dal numero di punti che li costituiscono. La storia tramanda che tale concezione entrò in crisi presso i Greci quando risolsero un problema apparentemente semplice: il calcolo del rapporto tra la lunghezza della diagonale di un quadrato e quella del suo lato. d l KEYWORDS K ccommensurabile / commensurable I protagonisti della matematica l Oggi sappiamo che, applicando il teorema di Pitagora e indicando con l il lato del quadrato, la sua diagonale d si ottiene in questo modo: _ _ _ _ _ d = l 2 + l 2 = 2 l 2 = 2 l 2 = 2 l Il rapporto fra diagonale e lato di un quadrato è, quindi: _ d _ = 2 l Certamente tale numero non è un numero naturale; infatti, la diagonale è più __ lunga del lato e più corta di due volte _ il lato: 2 è quindi compreso tra 1 e 2. possibile esprimere il numero 2 come frazione? I Pitagorici, i seguaci, cioè, dell insegnamento di Pitagora, mostrarono che tale numero non è razionale, cioè che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato è uguale a 2. Pitagora (570-490 a.C.) è stato un filosofo greco. Fondò la Scuola Pitagorica a cui, tra le altre cose, si deve la scoperta di grandezze incommensurabili e l introduzione dei numeri irrazionali. Approfondisci TEOREMA _ 2 non può essere scritto come frazione e, quindi, non è un numero ra- Le grandezze incommensurabili zionale. Dimostrazione _ Vediamo a quali conseguenze si _ giungerebbe se si facesse l ipotesi che 2 è una frazione. Supponiamo che 2 sia uguale a una frazione positiva, semplificata e ridotta ai minimi termini: _ a 2 = _ b (con a e b primi fra loro e b 1) 93