RELAZIONI E FUNZIONI Tra i sottoinsiemi di un insieme A occorre quindi considerare sempre due particolari sottoinsiemi: Q l insieme A stesso: A A Q l insieme vuoto: A A essi si dà il nome di sottoinsiemi impropri. Gli altri, quindi, che non sono l insieme stesso o l insieme vuoto, sono chiamati sottoinsiemi propri. esempio APPROFONDIMENTO A L affermazioni matematiche Le relative a fatti matematici elementari sono generalmente vere o false. Se i giudizi si riferiscono però a fatti del mondo o a cose non ancora esplorate, il giudizio di verità può non essere definitivo: vero? falso? possibile? probabile? indecidibile? O Scrivi quali dei seguenti insiemi coincidono con l insieme vuoto. A = {mammiferi che vivono in acqua} B = {numeri positivi il cui quadrato è un numero negativo} C = {triangoli rettangoli equilateri} D = {esseri viventi non del pianeta Terra} FISSA I CONCETTI A , perché esistono mammiferi che vivono in acqua (balene e delfini). B = , perché nessun numero positivo, elevato al quadrato, è negativo. C = , perché l ipotenusa è maggiore di ognuno dei cateti e dunque mai in un triangolo rettangolo tutti e tre i lati possono avere uguale lunghezza. Allo stato delle conoscenze attuali, D = , ma non possiamo escludere che sia D . L insieme vuoto è un insieme che non ha elementi e, per qualsiasi insieme, è il suo sottoinsieme meno numeroso. I due sottoinsiemi impropri di un insieme A sono collegati tra loro: rispetto ad A, il complementare di è A stesso, mentre il complementare di A è certamente vuoto. 2 Le operazioni tra insiemi Esercizi da pag. 48 2.1 L intersezione e la congiunzione A partire da due o più insiemi è possibile formarne altri. Possiamo per esempio considerare l insieme intersezione i cui elementi sono quelli che appartengono a entrambi. KEYWORDS K intersezione / intersection in DEFINIZIONE Si dice intersezione di due insiemi A e B l insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Si indica con A B. U A A B 8 B In un diagramma di Eulero-Venn l insieme intersezione è rappresentato dalla regione comune agli insiemi, che indichiamo in colore come in figura a lato. Per esempio, se A = {a, b, c, d, e, f} e B = {vocali}, allora: A B = {a, e} Da un punto di vista logico, l insieme intersezione di due insiemi è formato dagli elementi che verificano sia la proprietà dell uno sia quella dell altro; è cioè definito dalla congiunzione delle due proprietà attraverso la particella e. Se, per esempio: A = {multipli di 3} B = {multipli di 5} allora: A B = {multipli di 3 e di 5} Possiamo anche scrivere: A B = {multipli di 15}