1.3 L’insieme complementare e la negazione

1 Insiemi, proposizioni e relazioni esempio O Stabilisci quali delle seguenti implicazioni sono vere, quali non lo sono e quali sono equivalenti tra loro. a. Se si è promossi, allora si ha 6 in tutte le materie. b. Se si ha 6 in tutte le materie, allora si è promossi. c. Avere 6 in tutte le materie essere promossi. FISSA I CONCETTI Q Q Le implicazioni b. e c. sono vere, mentre a. è falsa perché si è promossi anche avendo voti maggiori di 6. Inoltre, le implicazioni b. e c. sono equivalenti. S è sottoinsieme di A se ogni elemento di S è anche elemento di A: S A. Se il sottoinsieme S non coincide con A si utilizza il simbolo dell inclusione: S A. L implicazione se A allora B (con A B) si indica anche con: A implica B oppure A B. 1.3 L insieme complementare e la negazione Consideriamo l insieme A = {lettere dell alfabeto italiano} e il suo sottoinsieme V = {vocali}. Possiamo allora considerare l insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a V. Otteniamo in questo modo l insieme C = {consonanti}, che viene detto insieme complementare di V rispetto ad A. KEYWORDS K in insieme complementare / complementary set DEFINIZIONE Se S A, l insieme complementare di S rispetto ad A è l insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a S. ¯. Il complementare di S è indicato con S calabrone Se per esempio A = {animali} e V = {vertebrati}, allora l insieme complementare di V è: ¯ V = {invertebrati} ¯ è rappresentato dalla regione in colore. Nel diagramma di Eulero-Venn, V V cobra A lombrico asino esempio O Considera l insieme A = {alunni della tua classe} ed M = {alunni della tua classe il cui cognome inizia con la lettera f}. M? Qual è l insieme complementare ¯ Indicandolo con la proprietà caratteristica, abbiamo: ¯ M = {alunni della tua classe il cui cognome non inizia con la lettera f} FISSA I CONCETTI Q Nell esempio precedente il sottoinsieme M è definito dalla proprietà caratteristica P = «alunni della tua classe il cui cognome inizia con la lettera f . L insieme complementare è allora definito dalla proprietà nonP che si ottiene con la negazione della precedente: nonP = «alunni della tua classe il cui cognome non inizia con la lettera f . Q Se S A, il complementare di S è indicato con S e contiene tutti gli elementi di A che non appartengono a S. Data una proprietà P, la sua negazione è la proprietà nonP. 1.4 L insieme vuoto KEYWORDS K opportuno introdurre un particolare insieme, l insieme vuoto, definito come l insieme che non ha elementi e indicato con il simbolo . L insieme vuoto va considerato come il sottoinsieme minimo di ogni insieme. Anch esso può essere definito attraverso una proprietà; basta ricorrere a una proprietà assurda, che cioè non è verificata da alcun elemento, per esempio: = {persone in vita nate nel XVIII secolo} = = {numeri naturali minori di 0} = insieme vuoto / empty set in 7

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.