Volume 1 Unità 8 L ambiente del piano euclideo ESERCITATI 1 Un insieme può essere rappresentato in tre modi attraverso: l elenco dei suoi elementi; una proprietà caratteristica; un diagramma di Eulero-Venn 2 A B AoB AeB V V V V V F V F F V V F F F F F A B A B V V V V F F F V V F F V A B A B V V V V F F F V F F F V 3 D SINTESI ATTIVA SAPERE: 1-B; 2-A; 3-D; 4-C; 5-F; 6-E; 7-M; 8-H; 9-L; 10-I; 11-G; 12-N SAPER FARE 1 a. Se una persona russa allora dorme; Ip: russare, Ts: dormire; b. Se una persona è viva allora respira; Ip: essere vivi, Ts: respirare; c. Se un numero è multiplo di 4 allora è pari; Ip: essere multipli di 4, Ts: essere pari 2 anta canta cantato incantato incantatore 3 1. assioma 1; 2. da 1 regola 2; 3. assioma 2; 4. da 3 regola 2; 5. da 4 regola 1 4 A: p. es. 5 è un numero naturale ma non è un quadrato perfetto 5 a. Un punto appartiene a infinite rette; b. L intersezione di due rette parallele e distinte è l insieme vuoto; c. Due punti distinti appartengono a una ed una sola retta; d. Se due rette si intersecano in un punto, allora tale punto è unico. 6 A1, A2, A4 7 Proprietà simmetrica 8 L intersezione di tre angoli convessi potrebbe essere un insieme 566 vuoto oppure una striscia di piano e non necessariamente un triangolo 9 No, non si ottengono angoli, né con l unione né con l intersezione VERSO LA PROVA DI VERIFICA 1 Se un numero è dispari allora il suo doppio è pari. 2 Se è carnevale allora ogni scherzo è valido. 3 Condizione necessaria affinché uno stia bene è che indossi il proprio abito. 4 Un numero è dispari se e soltanto se è il successivo di un numero pari. 5 A 6 0 punti se le rette sono parallele, 10 se sono tutte distinte e nessuna tra loro parallele. 7 0 segmenti se i punti coincidono, 6 segmenti se i punti sono distinti 8 Segmenti adiacenti: AE e EB, DE e EC; segmenti consecutivi: AE e ED, AE e EC, DE e EB, EB e BC, EC e CB 9 O a. O b. 10 Per dimostrare il teorema senza essere fuorviati dal significato delle varie affermazioni, riscriviamo tutto simbolicamente. Indichiamo le frasi in questo modo: Q = la figura è trilobica R = la figura è rullica S = la figura ha un cordolo T = la figura ha due bongoli uguali Scritti simbolicamente, gli assiomi sono: assioma 1: R S assioma 2: Q (S T) Sappiamo, per ipotesi, che Q e R sono vere. Vogliamo allora dimostrare T. Quindi Q e R sono le ipotesi, T è la tesi del teorema. Per la dimostrazione utilizziamo, a partire dagli assiomi, soltanto la regola del modus ponens (MP). Indichiamo con un numero ciascun passo della dimostrazione: 1. Q (per ipotesi) 2. Q (S T) (è l assioma 2) 3. S T (per MP tra 1 e 2) 4. R S (è l assioma 1) 5. R (per ipotesi) 6. S (per MP tra 4 e 5) 7. T (per MP tra 6 e 3) Abbiamo così dimostrato T, cioè che la figura ha due bongoli uguali.