ARITMETICA E ALGEBRA 5 Qualunque numero reale maggiore di _ è soluzione della disequazione, 2 la quale perciò ha infinite soluzioni. Possiamo rappresentare graficamente l insieme delle sue soluzioni attraverso la semiretta, qui disegnata in colore: 5 2 3 2 6 5 4 0 1 1 3 2 4 5 6 5 Osserviamo che x = _ non fa parte dell insieme delle soluzioni essendo 2 5 5 x > _. Per questo in corrispondenza di _ segniamo un punto vuoto. 2 2 1 b. _ (x 4) 2x + 4 Eliminiamo la parentesi a sinistra e otteniamo: 2 1 _ x 2 2x + 4 Sottraiamo a entrambe le parti 2x e aggiungiamo, 2 sempre a entrambe la parti, 2: 1 _ x 2x 2 + 2 2x 2x + 4 + 2 Effettuiamo le operazioni a 2 sinistra e a destra e otteniamo la disequazione equivalente: 3 1 _ x 2x 4 + 2 _ x 6 2 2 2 Per ottenere x dobbiamo moltiplicare entrambe le parti per _ ma, con3 temporaneamente va cambiato il predicato da a . Quindi: 3 _ x 6 2 FISSA I CONCETTI Principio di equivalenza per le disequazioni Una disequazione si trasforma in una disequazione equivalente se sia a destra sia a sinistra del predicato: Q addizioniamo (o sottraiamo) lo stesso numero reale; Q moltiplichiamo (o dividiamo) per lo stesso numero reale positivo; Q moltiplichiamo (o dividiamo) per lo stesso numero reale negativo, ma invertendo il predicato stesso. 2 3 2 _ _ x _ 6 3 2 3 x 4 2 quando si moltiplica per un numero negativo ( _) occorre 3 invertire il verso della disequazione Qualunque numero reale minore di 4 è soluzione della disequazione compreso x = 4; in particolare se x = 4 la disuguaglianza diventa una uguaglianza. Possiamo rappresentare l insieme delle sue soluzioni attraverso la semiretta, qui disegnata in colore: 4 8 7 6 5 3 2 Poiché, come abbiamo già detto, x = 4 fa parte dell insieme delle soluzioni in corrispondenza di questo valore segniamo un punto pieno. 3.4 Disequazioni sempre vere, proprie o sempre false 2 490 1 0 1 2 Una disequazione di primo grado definita in R può essere sempre trasformata in un altra equivalente, della forma: ax > b oppure ax b (oppure 0 2x 3 2x 2 > 2x 3 0 > 1