ARITMETICA E ALGEBRA 2. a = 0 e b = 0 Consideriamo, per esempio, l equazione: (x 3) + (x 2) 1 = 2x 6 Semplifichiamo e otteniamo 2x 6 = 2x 6. Applicando il principio di equivalenza, otteniamo 0x = 0, cioè l identità 0 = 0. Qualunque numero reale è soluzione dell equazione data. Quindi, in questo caso, l equazione ha infinite soluzioni, tutti i numeri reali. L insieme delle soluzioni è R. 3. a = 0 e b 0 Consideriamo, per esempio, l equazione: 2(x 1) = 2x + 1 Semplifichiamo e applichiamo il principio di equivalenza e otteniamo: 0x = 3 cioè 0 = 3 sempre falsa qualunque sia il valore che sostituiamo a x. L equazione è impossibile: non ha soluzioni. L insieme delle soluzioni è . Se dunque, nel corso del calcolo, l incognita scompare, occorre verificare se le trasformazioni conducono a una proposizione vera (quale 0 = 0) oppure falsa (quale 0 = 3). Nel primo caso l equazione è una identità e il suo insieme delle soluzioni coincide con l insieme in cui l equazione è definita; nel secondo caso l insieme delle soluzioni è vuoto e l equazione è impossibile. esempi O Risolvi in R le seguenti equazioni. a. x 1 = x + 1 L insieme delle soluzioni è ; infatti si ha 0x = 2 cioè 0 = 2 che è una proposizione falsa. 5 b. 3(2 x) 1 = 3(x _) L insieme delle soluzioni è R perché, svol3 gendo i calcoli, otteniamo: 6 3x 1 = 3x + 5 3x + 3x = 5 6 + 1 0x = 0; 0 = 0 che è una proposizione vera. c. 7 = 3z + 2(1 z) FISSA I CONCETTI Una equazione di primo grado si trasforma sempre nella forma ax = b. Q Q Q Se a 0, l equazione è determinata e ha una sola b soluzione: x = _. a Se a = 0 e b = 0 l equazione 0 = 0 è una identità: l insieme delle soluzioni è S = R. Se a = 0 e b 0 l equazione 0 = b è impossibile: l insieme delle soluzioni è S = . 484 7 = 3z + 2 2z Poiché l uguaglianza è una relazione simmetrica, si può operare con l incognita a destra e talvolta ciò può essere conveniente: 7 = z + 2 9 = z La soluzione è z = 9 d. 3 + 3(u + 1) 3u = u Semplificando otteniamo: 3 + 3u + 3 3u = u 0 = u 0 = u La soluzione è u = 0 O Risolvi in R la seguente equazione. (y 1)(y + 1) + 2y = y(y 3) Sviluppando i calcoli otteniamo: L equazione è soltanto apparentemente una y2 1 + 2y = y2 3y equazione di secondo grado, in quanto i monomi y2 si annullano. Poiché y2 y2 = 0: 1 1 y2 + 2y y2 + 3y = 1 5y = 1 y = _ La soluzione è y = _ 5 5