ARITMETICA E ALGEBRA d. 2x + 1 = 6 FISSA I CONCETTI Principio di equivalenza per le equazioni: se in una equazione addizioniamo o sottraiamo lo stesso numero, oppure moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero diverso da zero sia a sinistra sia a destra del predicato =, otteniamo una equazione equivalente a quella data. Si escludono soltanto la moltiplicazione e la divisione per 0. sottraendo 1 otteniamo 2x + 1 1 = 6 1 dunque 2x = 5; 2x 5 dividendo per 2 otteniamo _ = _. La soluzione è, di conse2 2 5 guenza x = _ 2 Il punto c. dell esempio precedente ci suggerisce un applicazione importante del principio di equivalenza: possiamo moltiplicare tutti i termini di una equazione per 1, ottenendo una equazione equivalente. Ciò significa che: una equazione rimane equivalente a sé stessa se si cambiano tutti i segni, sia a sinistra sia a destra del predicato =. 2.4 La risoluzione di una equazione di primo grado Approfondisci Le nozioni comuni di Euclide Per risolvere una equazione di primo grado in una incognita, utilizziamo le proprietà delle operazioni definite in R: via via la trasformiamo in equazioni equivalenti di forma più semplice, fino ad arrivare alla forma x = k che fornisce la soluzione. Per trasformare una equazione in un altra equivalente, utilizziamo il principio di equivalenza che impone che si operi sia a sinistra sia a destra del predicato con la stessa operazione e con lo stesso numero, purché si eviti di moltiplicare o di dividere per 0. A titolo di esempio risolviamo la seguente equazione: (3x 1) (2 5x) = 4(3 x) + 2x trattiamo le due parti dell equazione come due espressioni separate, semplificandone al massimo la scrittura. ATTENZIONE! A A volte, applicando il principio di equivalenza si dice impropriamente che si porta il numero dall altra parte, cambiandone il segno . In realtà, i numeri non camminano, ma seguono precise regole operative; essi possono essere addizionati e sottratti oppure moltiplicati e divisi. Procedimento Equazione Eliminiamo le parentesi eseguendo i calcoli: 3x 1 2 + 5x = 12 + 4x + 2x Addizioniamo i monomi simili; l equazione assume la forma ax + b = cx + d: 8x 3 = 6x 12 Poiché vogliamo arrivare a una equazione della forma x = k, a sinistra non vogliamo il termine costante 3; utilizzando il principio di equivalenza, addizioniamo 3 a entrambe le parti e semplifichiamo: 8x 3 + 3 = 6x 12 + 3 8x = 6x 9 Allo stesso modo, a destra non vogliamo termini con l incognita; utilizzando il principio di equivalenza, sottraiamo 6x a entrambe le parti e semplifichiamo: 8x 6x = 6x 9 6x 2x = 9 Infine, utilizzando nuovamente il principio di equivalenza, dividiamo entrambe le parti per 2: La soluzione dell equazione è: 482 9 2x _ _ = 2 2 9 x = _ 2