ARITMETICA E ALGEBRA KEYWORDS K e equazione determinata / determinate equation 3. L insieme S delle soluzioni è un sottoinsieme proprio dell insieme A in cui risolviamo l equazione. In questo caso l equazione si dice equazione determinata. Una equazione può essere impossibile in un insieme e determinata in un altro più ampio. Per esempio, l equazione: x+3=2 è impossibile in N (perché nessun numero naturale addizionato a 3 dà 2 per risultato) mentre è una equazione determinata in Z, in cui la soluzione è 1. Quindi: Q non esiste x N x + 3 = 2 Q esiste x Z x + 3 = 2 e tale valore è x = 1 esempio O Determina le soluzioni delle seguenti equazioni negli insiemi numerici. a. x 1 = 3 In Z ha una sola soluzione: x = 2 quindi S = { 2} Z infatti sostituendo 2 all incognita x otteniamo 2 1 = 3 che è una uguaglianza vera; non esistono altri valori con la stessa proprietà. b. x2 = 9 c. 2x = 5 APPROFONDIMENTO A P costruire correttamente una Per formula occorre seguire alcune regole. Per esempio «4 + x = 2 è una scrittura corretta mentre non lo è «4 + = 2 + x perché il segno di uguaglianza non può seguire quello di operazione. Una formula costruita correttamente è detta formula ben formata. Ha due soluzioni in Z, + 3 e 3, mentre ha una soluzione in N, il numero naturale 3. Nel primo caso S = { 3; 3} Z e nel secondo S = {3} N. Non ha soluzioni in Z mentre ha una soluzione in Q, il nume5 ro razionale _. Nel primo caso S = mentre nel secondo caso 2 5 si ha S = {_} Q. 2 In tutti i casi dell esempio esistono uno o più valori numerici che, sostituiti all incognita, la rendono un uguaglianza vera. Per esempio, possiamo scrivere: esiste x Z x2 = 9 è vera Non è invece vero che ogni numero intero, sostituito all incognita, la rende un uguaglianza vera. Quindi: non(per ogni x Z si ha che x2 = 9 è vera) Usiamo il termine formula per indicare genericamente una scrittura simbolica che può contenere, oltre a un predicato, variabili, costanti, segni di operazioni. Se chiamiamo K l insieme in cui è definita la formula e «essere uguale è il predicato, abbiamo la seguente situazione: Identità se S K con incognite (formula aperta) Equazioni determinate se S K Equazioni impossibili se S Formule con predicato = Uguaglianze vere; per esempio 3 + 2 = 5 in N senza incognite Uguaglianze false; per esempio ( 5) (+4) = +20 in Z 478