GEOMETRIA Il punto D sta fra A e B, mentre il punto E sta fra A e C (assioma 3). Quindi, rispetto alla retta per B ed E, il punto D sta nello stesso semipiano di A, mentre il punto C sta nel semipiano opposto. C s E A G D B r Ne segue che, rispetto alla retta per B ed E, i punti C e D stanno su semipiani opposti e quindi il segmento CD (per l assioma 4 di partizione del piano) interseca il segmento BE in un punto, che indichiamo con G. La semiretta di estremo A e passante per G è, come ora dimostreremo, la bisettrice s. dell angolo rA Dimostriamo che la bisettrice di un angolo è unica. TEOREMA 10 Ogni angolo ha una e una sola bisettrice. G GA s, la semiretta di estremo A Ip: AD AE, AB AC Ts: rA passante per G è l unica bisettrice. ATTENZIONE! A O volta che è scritto che due Ogni segmenti o angoli sono congruenti perché in comune, si fa riferimento alla riflessività della relazione di congruenza (assioma 6a). Dimostrazione I. I triangoli ABE e ADC sono congruenti per il primo criterio (LAL). Infatti: Q AD AE (per ipotesi) Q AB AC (per ipotesi) E C Q BA AD (in comune) C s E A G D B r D. E AC II. Da I segue: AB B. C AE III. Da I segue ancora: AD IV. I triangoli BGD e CGE sono congruenti per il secondo criterio (ALA). Infatti: G (da II) G EC Q DB C (perché supplementari di angoli congruenti in III) G GE Q BD Q BD EC (perché differenze di segmenti congruenti per ipotesi) C s E A G D B r 452