GEOMETRIA 2.2 Il secondo criterio di congruenza dei triangoli (ALA) TEOREMA 7 (secondo criterio di congruenza dei triangoli) Se due triangoli hanno congruenti due angoli e il lato compreso, allora sono congruenti. C C A B B A A , B B , AB A B Ts: ABC A B C Ip: A Dimostrazione Intendiamo dimostrare che AC A C . In questo modo rientriamo nelle ipotesi del primo criterio: due lati e l angolo compreso congruenti. Dimostriamo il teorema per assurdo; poniamo perciò l ipotesi contraria ottenuta negando la tesi: I. A C AC (ipotesi contraria). II. Supponiamo A C > AC (la dimostrazione è analoga se A C < AC) esisterebbe allora sulla semiretta per A C e con l estremo in A un punto D tale che A D AC (per l assioma 3 sull ordinamento della retta e per l assioma 7 del trasporto del segmento). C D B A III. Consideriamo i triangoli ABC e A B D. In essi: Q AB A B (per ipotesi); Q AC A D (per l ipotesi contraria in I e per II); Q A (per ipotesi). A Quindi ABC A B D (per il primo criterio di congruenza, assioma 9). C A IV. AB B D (per III); C A B C (per ipotesi). AB Questa conclusione contraddice l assioma 8 del trasporto dell angolo: , esiste infatti un solo angolo di lato A B e dalla parte di C , dato l angolo B congruente a B. V. Poiché l ipotesi contraria (punto I) conduce a una contraddizione, essa è falsa ed è dunque vera la sua negazione: concludiamo che AC A C . VI. I due triangoli sono allora congruenti per il primo criterio di congruenza. c.v.d. ATTENZIONE! A Il teorema 8 è l inverso del teorema 5. Ne deriva la seguente caratterizzazione: un triangolo è isoscele se e solo se due angoli sono congruenti. 448 Come applicazione del secondo criterio di congruenza dei triangoli, enunciamo il teorema inverso del teorema 5. TEOREMA 8 Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele. Lasciamo a te completare la dimostrazione nell esempio che segue.