9 Teoremi sulla congruenza TEOREMA 5 C In ogni triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. B AB C Ip: CB CA Ts: CA Dimostrazione I. Prolunghiamo i lati CB e CA rispettivamente di due segmenti BE e AD, arbitrari, ma tra loro congruenti. Quindi BE AD per costruzione (cioè per l assioma 7, che è l assioma del trasporto) II. Consideriamo i triangoli BCD e AEC. In essi: Q CB CA (per ipotesi) Q CD CE (per ipotesi e costruzione, perché somma di segmenti congruenti cioè per l assioma 7) Q l angolo di vertice C è in comune I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio (LAL) Come conseguenza della congruenza dei triangoli abbiamo: III. BD AE (per la definizione di triangoli congruenti) C (per la definizione di triangoli congruenti) B AE IV. CD V. Consideriamo i triangoli ADB e AEB. In essi: Q AD BE (per costruzione ovvero per l assioma 7) Q BD AE (per III) B (per IV) B AE Q AD I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio (LAL) A (per V e per la definizione di triangoli congruenti) VI. B AD EB C (perché angoli supplementari di angoli congruenti, teorema 3) VII. C AB AB c.v.d. Tenendo conto che un triangolo si definisce equilatero quando ha i tre lati congruenti, dimostriamo il seguente teorema. A B E D APPROFONDIMENTO A O volta che costruiamo Ogni segmenti o angoli congruenti facciamo riferimento all assioma 7 o all assioma 8. Perciò ogni volta che scriveremo che due segmenti sono congruenti per costruzione ci richiameremo implicitamente all assioma 7. KEYWORDS K tri triangolo equilatero / equilateral triangle TEOREMA 6 In ogni triangolo equilatero tutti gli angoli sono congruenti. A CA B C BC Ip: AB BC CA Ts: AB Approfondisci Dimostrazione Il teorema è una immediata conseguenza del teorema 5. I. Il triangolo equilatero si può considerare come triangolo isoscele in almeno due modi diversi. C Costruzione del triangolo equilatero C FISSA I CONCETTI Q T1 A T2 B A B Q II. AB BC CA (per ipotesi). III. Considerando il triangolo isoscele T1 con AC BC, possiamo affermare B (per il teorema 5). C CA che AB IV. Considerando, invece, il triangolo isoscele T2 con AB BC, possiamo af B = BC A (per il teorema 5). fermare che: CA B e CA B BC A AB A C CA C BC V. Dai punti III e II otteniamo che AB (per la proprietà transitiva della congruenza). c.v.d. Q Q Due triangoli sono congruenti se sono congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. Primo criterio di congruenza dei triangoli (LAL): due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l angolo compreso congruenti. Triangolo isoscele ha congruenti: due lati; gli angoli alla base. In un triangolo equilatero tutti i lati e tutti gli angoli sono congruenti. 447