GEOMETRIA 1 La congruenza Esercizi da pag. 464 1.1 Gli assiomi di congruenza A E A B E F C D F D B C ABCDE A B C D E KEYWORDS K ccongruenza / congruency Quando possiamo affermare che due figure F e F del piano sono uguali? Le figure del piano sono insiemi di punti e due insiemi sono uguali solo se contengono i medesimi elementi; quindi, possiamo dire che due figure sono uguali solo se formate esattamente dagli stessi punti. Questo non è possibile per due figure distinte, collocate, quindi, in diverse parti del piano: la relazione di uguaglianza è rigorosa, ma poco utile per confrontare figure diverse, ognuna formata dai propri punti. Eppure nel piano possiamo considerare figure che hanno la stessa forma e le stesse dimensioni e che il nostro occhio percepisce come uguali. Sono figure tra i cui punti possiamo stabilire una corrispondenza e osservare che elementi corrispondenti, quali lati, angoli, diagonali, ... hanno uguale misura. Nel piano introduciamo allora una relazione tra figure geometriche più ampia dell uguaglianza e interpretabile come quella relazione che intercorre tra figure che si corrispondono in una isometria. Tale relazione è detta congruenza. Essa non è indicata con lo stesso simbolo usato per l uguaglianza (=), ma con il simbolo . Le sue caratteristiche sono espresse dai seguenti assiomi. ATTENZIONE! A D figure che si corrispondono Due in una isometria hanno uguali tutte le loro misure, lineari e angolari. APPROFONDIMENTO A L i L identità è una particolare isometria: Q un segmento è congruente a sé stesso; Q un angolo è congruente a sé stesso. ASSIOMA 6 (assioma della congruenza) definita nel piano una relazione di congruenza tra figure, che ha le seguenti caratteristiche: a. è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva: è cioè una relazione di equivalenza; b. tutti i punti sono congruenti tra loro; tutte le rette sono congruenti tra loro; tutte le semirette sono congruenti tra loro; tutti i semipiani sono congruenti tra loro. Una immediata conseguenza dell assioma 6 è che tutti gli angoli piatti sono congruenti tra loro. Infatti, un angolo piatto è stato definito come un semipiano. I due assiomi che seguono, invece, stabiliscono la possibilità di costruire segmenti e angoli congruenti. ASSIOMA 7 (assioma del trasporto del segmento) Dati un segmento AB e un punto A appartenente a una retta r , su ognuna delle due semirette di r di estremo A esiste un unico segmento A B congruente ad AB. A A B AB A B r B L assioma 7 è chiamato «assioma del trasporto del segmento perché assicura la possibilità di individuare, costruendolo, un segmento congruente a uno dato, ma in un altra parte del piano. L effetto è come se si fosse trasportato il segmento dalla prima alla seconda posizione, ma in realtà nulla si è mosso: si tratta solo di aver individuato una coppia di segmenti corrispondenti di uguale misura. 442