GEOMETRIA 137 Riferendoti all esercizio precedente, completa le seguenti uguaglianze: a. ru s t t u = ........................ b. rs s t = ........................ c. s t t u = ........................ d. s u tu = ........................ e. ru s t tu = ........................ 138 Considera due rette incidenti. Indica quali e quan- ti sono gli angoli convessi e gli angoli concavi individuati (escludendo angoli piatti e angolo giro). 139 Considerato un triangolo come insieme di punti comuni a tre angoli, specifica quali delle sette regioni, in cui il piano risulta diviso dai loro lati, contengono punti esterni a due degli angoli e quali contengono punti esterni a tutti i tre angoli. f. ( rs s t su) tu = ........................ ESERCITARSI A DIMOSTRARE 140 Dimostra che, se si considera l angolo convesso formato dalle due semirette r e s (aventi lo stesso estremo) e se A r e B s, il segmento AB è tutto interno all angolo. 144 Dimostra che ogni semiretta interna a un angolo convesso e avente per estremo il vertice dell angolo lo divide in due angoli convessi, che giacciono da parti opposte rispetto a essa. 141 Dimostra che, se il punto P è interno all angolo 145 Dimostra che, se due semirette c e d sono incluse 142 Dimostra che una retta non può essere contenuta 146 Un angolo piatto è convesso? E un angolo giro? convesso formato dalle due semirette r e s di estremo O, allora la semiretta di estremo O e passante per P interseca necessariamente un qualsiasi segmento AB, con A r e B s (A e B diversi da O). in un angolo convesso non piatto. 143 Dimostra che un segmento che ha per estremi un punto esterno a un angolo convesso e un punto interno non appartenenti ai lati dell angolo, interseca uno dei lati dell angolo. nell angolo formato da due altre semirette a e b e hanno l estremo comune con esse, l angolo convesso definito da c e d è una parte dell angolo definito da a e b. Dimostra che l insieme complementare dell insieme dei punti di un angolo convesso non piatto è un angolo concavo. ULTERIORI PROBLEMI problem solving 147 Considera in un riferimento cartesiano tutti e soli i punti le cui coordinate sono numeri interi. Chiamiamo piano tale insieme di punti. Dimostra che questo sistema (in cui le rette sono formate dai soli punti a coordinate intere) soddisfa gli assiomi 1, 2, ma non l assioma 3. 148 In alcuni casi, nelle definizioni, nelle proprietà e nei teoremi relativi ad alcuni oggetti geometrici (per esempio, i segmenti) è possibile sostituire i termini relativi ad altri oggetti (come, per esempio, gli angoli), ottenendo così nuove definizioni, proprietà e teoremi che risultano veri (questa si chiama legge di dualità). Riscrivi il brano qui di seguito riportato sostituendo il termine «segmento con il termine «angolo , in modo da ottenere un testo che continui a essere vero, ma che riguardi gli angoli anziché i segmenti. 436 «Si può distinguere tra segmento chiuso o aperto a seconda che esso contenga o meno gli estremi. Due segmenti si dicono inoltre consecutivi se hanno in comune soltanto un loro estremo. Se poi gli estremi non comuni dei due segmenti consecutivi individuano una retta che contiene la loro unione, allora i due segmenti sono detti adiacenti. L unione di due segmenti adiacenti è un nuovo segmento, che si chiama somma dei due segmenti . Nelle due diverse formulazioni, quale significato assume il termine «estremo ? 149 Dati due punti sulla superficie terrestre, quali sono le linee di minima distanza tra essi, quelli che cioè potremmo chiamare segmenti?