8 Ambiente del piano euclideo Dimostrazione Per dimostrare che una relazione è di equivalenza dobbiamo verificare che è riflessiva, simmetrica e transitiva. a. Proprietà riflessiva (r rel r cioè r // r). Discende direttamente dalla definizione perché ogni retta coincide con sé stessa e quindi è parallela a sé stessa. b. Proprietà simmetrica (Ip: r // s Ts: s // r). Anche questa deriva dalla definizione. c. Proprietà transitiva (Ip: r // s e s // t Ts: r // t). Per dimostrarla, supponiamo che non sia vera la tesi cioè «r non è parallela a t . ATTENZIONE! A C Come già fatto nella dimostrazione del teorema 1, utilizziamo qui l ipotesi contraria della tesi. L ipotesi contraria (anche detta ipotesi assurda perché di essa vogliamo dimostrare la falsità) è, infatti, la negazione della tesi che vogliamo dimostrare. Questa ipotesi contraria si aggiunge alle ipotesi del teorema che riepiloghiamo per comodità: Ip1. r non è parallela a t; Ip2. r è parallela a s; Ip3. s è parallela a t. Per il Teorema 1 e per Ip1 possiamo affermare che r e t si intersecano in un solo punto P. Per Ip2 e Ip3 r e t sono entrambe parallele a s quindi per il punto P passano due parallele a s, ma ciò contraddice l assioma 5 a meno che r e t coincidano e allora sarebbe contraddetta Ip1. r s t P Non essendoci altre possibilità dobbiamo dedurre che r e t sono parallele. La relazione di parallelismo è dunque una relazione di equivalenza. c.v.d. Sempre nell unità 1 abbiamo sottolineato che quando in un insieme è definita una relazione di equivalenza, i suoi elementi si ripartiscono in classi disgiunte: ogni classe contiene tutti e soli gli elementi dell insieme che sono in relazione tra loro. Gli elementi di ogni classe sono, quindi, equivalenti rispetto alla caratteristica espressa dalla relazione che li lega l uno all altro. Poiché il parallelismo tra rette è una relazione di equivalenza, possiamo costruire l insieme delle classi di equivalenza. In ognuna di tali classi ci sono tutte e sole le rette tra loro parallele o, come anche si dice, tutte le rette che hanno la stessa direzione. esempio O Anche nell insieme dei segmenti possiamo stabilire una relazione di parallelismo: «due segmenti sono paralleli se appartengono a due rette parallele . Rimane valido l assioma 5 della parallela se alla parola retta si sostituisce la parola segmento? L assioma 5 non rimane valido perché per ogni punto vi sono infiniti segmenti (di diversa lunghezza) paralleli a un segmento dato. P AB APPROFONDIMENTO A D rette parallele non coincidenti Due dividono il piano in tre sottoinsiemi: due semipiani e una parte, delimitata dalle due rette, che è detta striscia di piano. o ipian sem cia stris o ipian sem r s 417