5 - Parallelismo, angoli e triangolo

GEOMETRIA 5 Parallelismo, angoli Esercizi da pag. 434 e triangolo In base al teorema 1, dimostrato nel precedente paragrafo 3.4, due rette qualunque del piano possono: Q avere un solo punto in comune: le due rette si dicono incidenti; Q non avere punti in comune: le due rette sono distinte e si dicono parallele; Q essere formate dagli stessi punti: le due rette sono coincidenti (le possiamo considerare un caso particolare di rette parallele). r r r s s s rette incidenti KEYWORDS K retta parallela / parallel line re rette parallele rette coincidenti DEFINIZIONE Nel piano, due rette si dicono parallele se coincidono o non hanno alcun punto in comune. 5.1 L assioma della parallela APPROFONDIMENTO A L L assioma della parallela venne formulato da Euclide nella sua opera Elementi e per molti secoli questo assioma, noto come quinto postulato, costituì un problema aperto perché sembrava troppo ovvio o troppo ardito porlo tra le proposizioni iniziali. Per molti secoli si cercò, quindi, di dimostrarlo a partire dagli altri assiomi, finché non si dimostrò, nella prima metà dell Ottocento, che ciò non era possibile. Da allora in poi si sono sviluppate teorie geometriche in cui questo assioma non vale e che, pertanto, sono dette geometrie non-euclidee. Uno degli assiomi fondamentali della geometria è quello della parallela. Questo assicura che nel piano, per un punto esterno a una retta data, esiste la parallela e che tale parallela è unica. ASSIOMA 5 (assioma della parallela) Per ogni retta r e ogni punto P del piano esiste una sola retta passante per P e parallela a r. P s r Per indicare che una retta r è parallela a una retta s, in simboli si scrive r // s . Le direzioni Due rette del piano possono essere parallele oppure no. Come abbiamo avuto già modo di accennare nell unità 1, studiando le relazioni in un insieme, il parallelismo è una relazione di equivalenza nell insieme delle rette, ma non lo abbiamo dimostrato formalmente. Lo dimostriamo ora. TEOREMA 2 La relazione di parallelismo tra rette del piano è una relazione di equivalenza. 416

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.