Il Maraschini-Palma - volume 1

8 Ambiente del piano euclideo ASSIOMA 4 Ogni retta r divide il piano in due insiemi infiniti e disgiunti, detti semipiani, tali che, per ogni coppia di punti A, B non appartenenti alla retta r, si verifica uno solo dei seguenti casi: 1. il segmento AB non interseca la retta r (si dice in questo caso che A e B sono dalla stessa parte rispetto a r: appartengono allo stesso semipiano) (fig. a.); 2. il segmento AB interseca la retta r in un punto (si dice che A e B sono da parti opposte rispetto a r: appartengono a semipiani opposti) (fig. b.). r A B a. semipiano r semipiano B In base agli assiomi appena visti possiamo dare la seguente definizione. DEFINIZIONE b. A Data una retta r appartenente a un piano, chiamiamo semipiano l insieme dei punti formati dalla retta r e da tutti i punti del piano che stanno dalla stessa parte rispetto alla retta r. La retta r si chiama origine del semipiano e costituisce la frontiera che separa i due semipiani opposti individuati dalla retta stessa. Con gli assiomi fin qui posti, il piano assume delle caratteristiche che lo differenziano da alcuni modelli concreti, quali per esempio il foglio di carta. Infatti, il piano non potrebbe avere una retta come suo bordo perché questo non lo dividerebbe in due semipiani. esempio O Prendi una striscia di carta e, dopo aver effettuato una torsione, come è indicato in figura a., unisci i due bordi più corti con del nastro adesivo. Ottieni una superficie chiamata nastro di M bius. FISSA I CONCETTI Data una retta r appartenente a un piano, chiamiamo semipiano l insieme dei punti formati da r (origine) e da tutti i punti del piano che stanno dalla stessa parte rispetto alla retta r. I protagonisti della matematica a. Taglia ora con un paio di forbici tale nastro lungo una linea mediana (quella tratteggiata disegnata in figura b.). Il nastro si divide in due parti? Per il nastro di M bius vale l assioma 4? b. L assioma 4 non vale per il nastro di M bius perché non tutte le rette che è possibile tracciarvi lo dividono in due parti distinte. Una linea come quella lungo la quale abbiamo fatto il taglio non ha questa caratteristica. Una volta tagliato, infatti, il nastro non si spezza in due parti distinte (fig. c.). c. August Ferdinand M bius (1790-1868) è stato un matematico e astronomo tedesco. diventato celebre per aver studiato la superficie nota come nastro di M bius che ha la caratteristica di avere una sola faccia. Se infatti la si percorre con una matita ci si accorge che tale superficie non ha un sopra e un sotto. Approfondisci CLIL The timeless journey of the Mobius strip (inglese) 415

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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.