4 - Gli assiomi di ordinamento

8 Ambiente del piano euclideo Due rette che si intersecano in un solo punto sono dette incidenti. Gli assiomi precedenti, per tale motivo, sono detti assiomi di incidenza. Esempio O valido nel «piano del foglio di carta il teorema 1? Le rette del foglio si intersecano, cioè, al massimo in un punto? Poiché i primi due assiomi valgono anche nel «piano del foglio di carta , il teorema 1 vale anche in tale modello concreto. Infatti, l intersezione di due rette disegnate con la penna sul foglio o è vuota oppure è un punto. FISSA I CONCETTI L intersezione di due rette distinte o è vuota oppure è formata da un solo punto. 4 Gli assiomi di ordinamento Esercizi da pag. 432 4.1 L assioma di ordinamento della retta Affinché il concetto di retta rispecchi l immagine intuitiva che ne abbiamo, è necessario che: Q sia percorribile in due soli versi; Q si distenda senza attorcigliarsi su sé stessa; Q sia fitta di punti; Q non abbia termine né in un verso, né nell altro. Viene perciò posto il seguente assioma di ordinamento della retta. ASSIOMA 3 (di ordinamento della retta) Su ogni retta r si possono stabilire due ordinamenti totali, l uno opposto all altro. Ognuno dei due ordinamenti è tale che: a. tra due punti distinti qualunque A, B r c è sempre un terzo punto C r, che sta fra A e B; A C ATTENZIONE! A L parole come percorribile o Le fitta di punti indicano proprietà intuitive che vogliamo che la retta abbia oppure no. Gli assiomi servono per delimitare e precisare le proprietà degli enti geometrici fondamentali, in modo che rispecchino le caratteristiche che vogliamo loro attribuire. Q Nell insieme dei punti di ogni retta è così assiomaticamente stabilita la relazione: stare tra. Q B b. preso un qualunque punto C r, esistono due punti A, B r tali che C sta fra A e B. A C B In base alla condizione a. dell assioma 3, la retta risulta un insieme denso perché tra due punti distinti, per quanto vicini, ce n è sempre uno compreso tra essi e il ragionamento si può ripetere quante volte si vuole. In base alla condizione b., la retta non ha né un primo elemento che precede tutti gli altri, né un ultimo elemento che segue tutti gli altri: ogni punto, infatti, sta tra due altri punti e la retta risulta così illimitata. La retta è perciò un insieme denso e illimitato (concetto che abbiamo già incontrato nell unità 2 quando abbiamo trattato degli insiemi Q e R). APPROFONDIMENTO A U insieme ordinato è denso se, Un presi comunque due suoi elementi, ne esiste sempre un terzo compreso tra essi nell ordinamento (segue cioè uno dei due e precede l altro). Poiché tale caratteristica deve valere per una qualsiasi coppia di elementi, la densità dell insieme implica che tra due suoi elementi ne esistano infiniti altri. 413

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.