3.3 Gli enti geometrici fondamentali

GEOMETRIA 3.3 Gli enti geometrici fondamentali APPROFONDIMENTO A Si può dire che un punto appartiene a una retta oppure che la retta passa per il punto. In ogni caso si utilizzeranno lettere maiuscole per indicare i punti e lettere minuscole per indicare le rette. Così P r significa che il punto P appartiene alla retta r (o anche che la retta r passa per il punto P ). ATTENZIONE! A S in un ambiente valgono Se determinati assiomi, si dice che tale ambiente costituisce un modello per quell insieme di assiomi. Il «piano del foglio di carta , cioè il piano costituito proprio dal foglio, è perciò un modello per i primi due assiomi. Puoi notare che non abbiamo dato una definizione di piano, di retta e di punto; non abbiamo detto che cosa sono, ma abbiamo indicato, attraverso gli assiomi, le loro relazioni reciproche. Sono, quindi, gli assiomi a definire, globalmente, questi oggetti: punto, retta e piano sono perciò definiti implicitamente attraverso le relazioni reciproche che devono soddisfare: essi sono gli enti geometrici fondamentali. Tutti gli altri oggetti della geometria, invece, verranno definiti a partire da questi enti fondamentali, utilizzando le relazioni, le operazioni tra insiemi e le proprietà logiche. esempio O Valgono i primi due assiomi nel «piano di un foglio di carta , se intendiamo per retta una qualunque linea tracciata con la riga da un bordo del foglio? Gli assiomi continuano a essere verificati su tale «piano , anche se lo incurviamo stropicciandolo e, quindi, le rette diventano curve? FISSA I CONCETTI Q Q Gli oggetti della geometria sono astratti e ideali. Gli enti geometrici fondamentali sono: punto, retta, piano. I primi due assiomi valgono sempre nel «piano del foglio di carta , anche quando esso viene stropicciato. 3.4 Il primo teorema Grazie ai primi due assiomi appena enunciati possiamo dimostrare un teorema riguardante l intersezione di due rette. Sottolineiamo che le rette sono insiemi di punti e quindi coincidono soltanto se hanno in comune tutti i loro punti così consideriamo distinte due rette se individuiamo almeno un elemento che appartiene all una, ma non all altra. ATTENZIONE! A N teorema 1 utilizziamo il Nel connettivo della disgiunzione esclusiva (in latino, aut), già visto nell unità 1. 412 TEOREMA 1 L intersezione di due rette distinte o è vuota oppure è formata da un solo punto. Ip: r, s sono rette distinte Ts: o r s = o r s = {P} Dimostrazione Due rette distinte non possono avere in comune più di un punto perché, se avessero in comune due punti distinti, coinciderebbero in quanto, per l assioma 2, per due punti distinti passa una sola retta. Perciò l intersezione di due rette distinte o è vuota oppure è costituita al massimo da un punto. c.v.d.

Il Maraschini-Palma - volume 1
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