Il Maraschini-Palma - volume 1

GEOMETRIA APPROFONDIMENTO A A essere rigorosi, nella dimostrazione del teorema si utilizza una ulteriore regola di deduzione, detta della separazione della congiunzione: dalla proposizione A e B si deducono separatamente sia A sia B. Infatti la proposizione A e B è vera se sono vere sia la proposizione A sia la proposizione B. Così, avendo come ipotesi n e m sono due numeri pari, abbiamo potuto scrivere: 1. n è pari 2. m è pari FISSA I CONCETTI Dimostrazione diretta: a partire dalle ipotesi, assunte come ulteriori assiomi, si prosegue fino alla tesi. esempio O Dopo averlo opportunamente riformulato nella forma se allora dimostra il seguente teorema: La somma di due numeri pari è un numero pari. Tieni conto della seguente definizione: D3: Un numero si dice pari se 2 è un suo fattore primo e quindi può essere scritto come 2 k, con k N. Riformuliamo il teorema: Se n e m sono due numeri pari, allora n + m è un numero pari. Quindi: Ip: n, m sono pari Ts: n + m è pari Dimostrazione P1. n = 2 k (con k N, per D3) P2. m = 2 h (con h N, per D3; utilizziamo una lettera diversa per sottolineare che i due numeri non sono necessariamente uguali) P3. n + m = 2 k + 2 h (per P1 e P2 e le proprietà dell uguaglianza) P4. n + m = 2 (k + h) (per P3 e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione) P5. n + m è pari (per P4 e D3, essendo h + k un espressione che dà come risultato un numero naturale) c.v.d. Nell esempio abbiamo utilizzato una proprietà dell uguaglianza e la proprietà distributiva, che costituisce un assioma dell aritmetica. Regole di deduzione, proprietà logiche e assiomi propri di una particolare parte della matematica sono gli ingredienti di base della catena deduttiva che costituisce una dimostrazione. Dal generale al particolare Le proposizioni matematiche interessano soprattutto perché non sono proposizioni particolari, ma generali: non affermano proprietà relative a un singolo oggetto, ma riguardano tutti gli oggetti con una stessa caratteristica. Per questo, gli enunciati matematici contengono sempre dei quantificatori, cioè delle espressioni del tipo per ogni o esiste, anche se talvolta sono sottintesi. In tali casi vale una regola di deduzione che possiamo così formulare. Regola di particolarizzazione Se P è una proposizione vera per ogni valore della variabile in un determinato insieme, allora la proposizione che si ottiene sostituendo alla variabile un elemento particolare dell insieme è vera. Indichiamo con P(a) una proprietà P che vale per un elemento a. La regola di particolarizzazione stabilisce che: se, per ogni x K vale P(x) allora certamente vale anche P(k), dove k è un particolare elemento di K. Sappiamo, per esempio, che l addizione nell insieme N dei numeri naturali è commutativa. Ciò significa che in N vale il seguente assioma: per ogni x, y N vale la proprietà x + y = y + x In base alla regola di particolarizzazione possiamo affermare, per esempio, che: 2+3=3+2 perché 2 e 3 sono due numeri reali. 408

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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.