8 Ambiente del piano euclideo 2.3 Alcune forme di dimostrazione Dimostrazione diretta La dimostrazione diretta si utilizza spesso quando il teorema ha la forma di una implicazione, come nei casi precedentemente considerati. La sua forma è del tipo se Ip allora Ts, dove sono indicate con Ip l ipotesi e con Ts la tesi. Nella dimostrazione diretta si assume l ipotesi come vera, cioè come se fosse un ulteriore assioma a disposizione, andando quindi avanti direttamente nella catena deduttiva, utilizzando le regole logiche a disposizione. Come esempio di dimostrazione diretta, consideriamo il seguente teorema. TEOREMA Se n è un numero dispari anche n2 è un numero dispari. Ip: n è un numero dispari Ts: n2 è un numero dispari Dimostrazione Per dimostrare il teorema teniamo conto del seguente assioma dei numeri naturali: Q Ogni numero naturale si scompone in fattori primi in un solo modo (A). Inoltre, ricordiamo le seguenti definizioni: Q Un numero si dice primo se è naturale e divisibile solo per sé stesso e per 1 (D1). Q Un numero si dice dispari se è naturale e 2 non è uno dei suoi fattori primi (D2). Catena deduttiva P1. n è dispari (per ipotesi). P2. Il numero 2 non è un fattore primo di n (per P1, A e D2). P3. I fattori primi di n2 sono gli stessi di n con esponente raddoppiato (per A e le regole delle potenze). P4. Il numero 2 non è un fattore primo di n2 (per quanto visto in P2 e P3). P5. n2 è dispari (per P4 e D2). c.v.d. Nella tradizione matematica per indicare che una dimostrazione è terminata, si utilizza l espressione come volevasi dimostrare, a volte sinteticamente scritta c.v.d. Ancora oggi, nelle pubblicazioni internazionali in lingua inglese, si utilizza l espressione equivalente latina: quod erat demonstrandum, sintetizzata in q.e.d. Dal teorema precedente se ne ricava immediatamente un altro. il teorema formato dall equivalente proposizione contronominale. TEOREMA Se un numero n2 non è dispari, allora n non è dispari. ATTENZIONE! A S Spesso, per dimostrare un teorema non si risale fino agli assiomi, ma soltanto fino a un altro teorema già precedentemente dimostrato. Il procedimento è corretto perché potremmo comunque, aggiungendo le dimostrazioni dei teoremi già dimostrati, ricostruire una catena di deduzione che parta dagli assiomi. Poiché un numero naturale o è dispari o è pari, il teorema può anche essere formulato in questo modo. TEOREMA Se un numero n2 è pari, allora n è pari. 407