GEOMETRIA 2.2 Modus ponens e modus tollens Abbiamo già detto che la gran parte dei teoremi è espressa con frasi ipotetiche, implicazioni del tipo se allora. In questi casi, per organizzare una catena di deduzione, utilizziamo due regole che garantiscono ragionamenti corretti e alle quali si danno due nomi latini: modus ponens e modus tollens. Regola del modus ponens (MP). Se A B è una proposizione vera e la premessa A è una proposizione vera, allora si può dedurre che la conseguenza B è una proposizione vera. Regola del modus tollens (MT). Se A B è una proposizione vera e la conseguenza B è una proposizione falsa, allora si può dedurre che la premessa A è una proposizione falsa. esempi ATTENZIONE! A I due d nomi latini significano: modus ponens: il modo di affermare la verità di una frase (B ), affermando quella di un altra (A); modus tollens: il modo di negare la verità di una frase (A), negando quella di un altra (B ). KEYWORDS K m metodo deduttivo / deductive method O Analizza il seguente ragionamento. corretto? Quale regola di deduzione è stata utilizzata? Se Mario è amico di Michele, allora è mio amico. Mario non è mio amico quindi Mario non è amico di Michele A: «Mario è amico di Michele B: «Mario è mio amico A B nonB: «Mario non è mio amico nonA: «Mario non è amico di Michele Il ragionamento è corretto, è stata applicata la regola del modus tollens. O Durante una campagna elettorale uno dei due candidati espone il seguente ragionamento. «Ebbene, cittadini, voi dovrete certamente votare per lo schieramento avversario se volete avere tasse più alte e reddito più basso. Eppure io so che voi non desiderate tutto ciò e, quindi, sono certo del vostro voto . Perché il ragionamento è scorretto? Il ragionamento può essere così formalizzato: A: «Volere tasse più alte e reddito più basso B: «Votare per lo schieramento avversario A B nonA quindi nonB Il ragionamento è scorretto perché, se la premessa è falsa, nulla si può dire sulla conseguenza, che può essere sia vera sia falsa. FISSA I CONCETTI Q Modus ponens: A B A quindi B Q Modus tollens: A B nonB quindi nonA 406 Nell esaminare la correttezza di un ragionamento ed è questo l oggetto di studio della logica l interesse non è rivolto al contenuto delle singole affermazioni, quanto alla possibilità di ricavarle a partire dagli assiomi, cioè alla loro dimostrabilità: un teorema è dimostrato se è possibile ricavarlo dagli assiomi attraverso una corretta applicazione delle regole di deduzione. Questo modo di stabilire la verità di una affermazione è detto metodo deduttivo o metodo assiomatico e sarà seguito in questa parte del testo per studiare la geometria del piano.