Il Maraschini-Palma - volume 1

8 Ambiente del piano euclideo La catena procede dagli assiomi fino al teorema, che è così dimostrato: la sua verità è ricavata da quella degli assiomi. Si dice anche che il teorema è dedotto dagli assiomi. Le regole si chiamano, infatti, regole di deduzione e tutta la catena di affermazioni che costituisce la dimostrazione di un teorema è anche detta catena deduttiva. assioma con una regola di deduzione nuova affermazione con una regola di deduzione nuova affermazione dimostrazione ATTENZIONE! A Gli assiomi, come abbiamo visto, sono affermazioni che stabiliamo essere vere. Esse, quindi, non devono essere dimostrate. Spesso si scelgono come assiomi affermazioni la cui verità risulta evidente. Tuttavia, la scelta degli assiomi di una teoria è libera: la coerenza di un ragionamento non riguarda la verità degli assiomi, ma la possibilità di ricavare da essi le successive affermazioni. teorema esempio O Un gioco basato sulle parole del vocabolario della lingua italiana segue la seguente regola: «Da una parola se ne può dedurre un altra, cambiando soltanto una sua lettera, purché la parola ottenuta appartenga ancora al vocabolario della lingua italiana . Data la parola porto deduci la parola risma applicando tale regola. PROVA TU P D la parola naso, deduci la Data parola sale. La parola porto è l assioma. Possiamo costruire via via la seguente catena deduttiva: porto posto pesto pesta resta ressa rissa risma La parola risma è un teorema. naturalmente possibile dimostrare risma anche in altri modi, costruendo diverse catene di deduzione che abbiano la stessa parola iniziale e la stessa parola finale. Possiamo costruire una teoria matematica con le seguenti tappe: 1. indichiamo gli oggetti (enti fondamentali) di cui tratta la teoria che stiamo costruendo; 2. ne definiamo altri che ricaviamo immediatamente da quelli fondamentali e che saranno utili per la costruzione; 3. elenchiamo gli assiomi cioè le (poche) proposizioni iniziali scelte come vere e che esprimono relazioni evidenti tra gli enti considerati; 4. individuiamo le regole che permettono di ricavare da una proposizione vera un altra anch essa vera; 5. organizziamo così una catena che procede da proposizione vera a proposizione vera; una qualsiasi proposizione così ottenuta è un teorema della teoria che stiamo costruendo e la catena che va dagli assiomi a essa è la sua dimostrazione. Una teoria matematica è l insieme dei teoremi che esprimono così proprietà rigorosamente dimostrate degli oggetti di cui la teoria tratta. FISSA I CONCETTI Una dimostrazione è una catena deduttiva che procede dagli assiomi (o da altri teoremi già dimostrati) al teorema. 405

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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.