GEOMETRIA Esercizi da pag. 428 2 La deduzione e le forme di dimostrazione 2.1 I ragionamenti corretti Nel paragrafo precedente abbiamo detto che una dimostrazione è un ragionamento corretto: da qui l importanza di dimostrare le affermazioni che facciamo quando vogliamo costruire una teoria coerente. Che cosa significa ragionamento corretto? Consideriamo tale un ragionamento per il quale, ogni volta che risultino vere le premesse, possiamo stabilire che anche la conseguenza sia vera. Occorre quindi stabilire delle regole che garantiscano di passare da un affermazione vera a un altra affermazione vera. nelle prime due righe sono scritte Esaminiamo i seguenti ragionamenti. le due affermazioni accettate come vere (gli assiomi) 1° ragionamento Assioma 1 Se Dick è un cane, allora ha la coda. Assioma 2 Dick è un cane quindi Dick ha la coda nell ultima riga è scritta, preceduta da quindi, la conseguenza del ragionamento 2° ragionamento Assioma 1 Se Dick è un cane, allora ha la coda. Assioma 2 Dick non è un cane quindi Dick non ha la coda 3° ragionamento Assioma 1 Se Dick è un cane, allora ha la coda. Assioma 2 Dick ha la coda quindi Dick è un cane APPROFONDIMENTO A A seconda del loro ruolo, i teoremi assumono talvolta dei nomi diversi. Si dice lemma una proposizione che serve per dimostrare un successivo teorema più importante. Si dice corollario l immediata conseguenza di un teorema precedentemente dimostrato. Infine, si dice congettura una proposizione di cui non si è ancora riusciti a trovare una dimostrazione, ma che si suppone vera. La storia della matematica contempla sia numerose congetture, con il tempo rivelatesi false, sia altre congetture che sono poi state dimostrate, divenendo così teoremi. 404 Il primo ragionamento è corretto, gli altri non lo sono. Infatti, benché tutti i tre ragionamenti partano dalla stessa implicazione, che supponiamo vera e che ha il ruolo di primo assioma (Se Dick è un cane, allora ha la coda), essi poi si differenziano: Q nel primo, anche Dick è un cane è un assioma e quindi è vero; è permessa dell assioma 1 e affinché l implicazione complessiva sia vera deve essere vera anche la sua conseguenza; Q nel secondo, la premessa dell assioma 1 non è vera (come ulteriore assioma abbiamo infatti: Dick non è un cane); la conseguenza può allora essere vera o falsa: non possiamo trarre alcuna conclusione. Il ragionamento non è quindi corretto (Dick potrebbe essere un altro animale che abbia comunque la coda); Q nel terzo, è vera la conseguenza dell assioma 1 (come ulteriore assioma c è infatti: Dick ha la coda); ma questo può aversi sia con una premessa vera sia con una premessa falsa: non possiamo trarre alcuna conclusione. Il ragionamento non è pertanto corretto (Dick potrebbe essere un cane oppure un altro animale con la coda). Dimostrare è il metodo che la matematica utilizza per stabilire la verità delle sue affermazioni, cioè dei teoremi. La dimostrazione di un teorema è una catena di affermazioni, ognuna ricavata dalle precedenti attraverso una delle regole stabilite.