Il Maraschini-Palma - volume 1

8 Ambiente del piano euclideo Un teorema della forma se A allora B nulla dice su quale conseguenza possiamo trarre dal fatto che l ipotesi A non sia vera. Consideriamo per esempio il proverbio «Se son rose fioriranno . Riformulato, potrebbe essere scritto così: «Se una pianta è di rose allora fiorirà . Il proverbio nulla dice di che cosa accadrà nel caso in cui la pianta non sia di rose: essa potrebbe fiorire come non fiorire. Non afferma che «Se non son rose non fioriranno . Un teorema della forma se A allora B non è equivalente a un teorema della forma se nonA allora nonB. Inversione e negazione sono invece legate in un altro modo: se A allora B è logicamente equivalente a se nonB allora nonA Così, la frase equivalente al proverbio «Se son rose fioriranno è «Se non fioriranno, allora non son rose . Se è vera la prima è vera anche l altra. Una proposizione del tipo se A allora B è logicamente equivalente alla proposizione se nonB allora nonA, nella quale sono invertite e negate ipotesi e tesi. La proposizione: se nonB allora nonA è detta contronominale della proposizione se A allora B. esempio ATTENZIONE! A L L equivalenza logica tra una implicazione e la sua contronominale è stata verificata nell unità 1 attraverso le rispettive tavole di verità. O Trascrivi nella forma se A allora B le seguenti proposizioni, scrivine le contronominali e verificane l equivalenza logica. a. Un numero naturale con la cifra delle unità uguale a 6 è divisibile per 2. Se un numero naturale non è divisibile per 2, allora la sua cifra delle unità non è 6. b. Non è ammesso all esame chi non ha pagato la tassa d iscrizione. Se si è pagata la tassa d iscrizione, allora si è stati ammessi all esame. c. Se la luce non si accende, non si è premuto l interruttore. Se si è premuto l interruttore, allora la luce si accende. d. Aver compiuto 50 anni è condizione necessaria per essere Presidente della Repubblica italiana. Se non si sono compiuti 50 anni, allora non si può essere Presidente della Repubblica italiana. La forma contronominale di un teorema è, di fatto, un altro teorema. Per esempio, uno dei più famosi teoremi della geometria che già conosci è il teorema di Pitagora , esso afferma che: «Se un triangolo è rettangolo allora la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell ipotenusa il suo contronominale è: «Se la somma dei quadrati dei cateti NON è uguale al quadrato dell ipotenusa allora il triangolo NON è rettangolo Quest ultima affermazione è ancora un teorema. Tra le varie forme di dimostrazione che vedremo nel prossimo paragrafo può comparire a pieno titolo anche quella che fa uso della contronominale. Capita spesso che, data l equivalenza logica tra una proposizione e la sua contronominale, invece di dimostrare «Se A allora B si dimostri «Se nonB allora nonA . FISSA I CONCETTI Q Q Q Il teorema inverso si ottiene scambiando l ipotesi con la tesi. Se un teorema è vero, non necessariamente è vero il teorema inverso. L implicazione se A allora B non è logicamente equivalente alla doppia implicazione A se e solo se B. La contronominale di se A allora B è se nonB allora nonA. Le due proposizioni sono logicamente equivalenti. 403

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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.