GEOMETRIA 1.2 Il teorema inverso e la contronominale Dato un teorema espresso nella forma se A allora B cioè come implicazione, il teorema inverso è quello espresso dall implicazione inversa, che otteniamo scambiando l ipotesi con la tesi: se B allora A. possibile che valga un teorema, ma non il teorema inverso. Per tutte le proposizioni dell esempio precedente non sono veri i teoremi inversi, poiché le loro tesi non sono vere in generale, ma soltanto sotto ipotesi più restrittive. Infatti: a. non è vero che se un animale è un vertebrato allora esso è un mammifero; b. non è vero che se si è maggiorenni allora si ha diritto di voto (alcuni cittadini, in seguito a condanna, possono essere privati dei diritti politici); c. non è vero che se un numero è divisibile per 15 allora è divisibile per 6 e per 10; né 15, né 45 sono divisibili per 6 o per 10, pur essendo divisibili per 15. esempio O Formula l inverso di ognuno dei seguenti teoremi e stabilisci quali di essi sono veri. a. Se piove, allora ci sono nuvole in cielo. Se ci sono nuvole in cielo, allora piove (falso). b. Se un numero naturale termina con 0, allora è divisibile per 5. Se un numero è divisibile per 5, allora termina con 0 (falso). c. Se un triangolo ha tre lati uguali, allora ha tre angoli uguali. Se un triangolo ha tre angoli uguali, allora ha tre lati uguali (vero). ATTENZIONE! A N Nell unità 1 abbiamo introdotto anche il connettivo se e solo se indicato con la doppia freccia . Q un errore comune, da evitare, confondere l implicazione semplice (se A allora B) con la doppia implicazione (A se e solo se B). Q KEYWORDS K c condizione necessaria e sufficiente / necessary and sufficient condition 402 Per indicare che valgono sia il teorema se A allora B, sia il suo inverso se B allora A, in matematica usiamo una di queste espressioni: Q A se e solo se B Q A è condizione necessaria e sufficiente per B e scriviamo, in simboli: A B. Per esempio, nel caso c. dell esempio precedente, poiché vale sia il teorema sia il suo inverso, possiamo scrivere l una o l altra delle seguenti frasi: Q Un triangolo ha tre lati uguali se e solo se ha tre angoli uguali. Q Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo abbia tre lati uguali è che abbia tre angoli uguali. Un teorema della forma A se e solo se B (o, che è lo stesso, A è condizione necessaria e sufficiente per B) è in realtà un doppio teorema: A se e solo se B significa se A allora B e se B allora A Quando un teorema assume la forma della doppia implicazione è allora necessario effettuare due dimostrazioni distinte: dimostriamo prima una delle due implicazioni e poi la sua inversa. esempio O Sulla base della tua esperienza discuti la verità delle seguenti affermazioni. a. Avere 6 in tutte le materie è condizione sufficiente per essere promossi. Vero b. Avere 6 in tutte le materie è condizione necessaria per essere promossi. Falso (perché si è promossi anche con voti superiori al 6) c. Aver compiuto 14 anni è condizione sufficiente per poter guidare il motorino. Falso (perché occorre la patente AM) d. Aver compiuto 14 anni è condizione necessaria per poter guidare il motorino. Vero