8 Ambiente del piano euclideo A partire dagli assiomi si dimostrano altre proposizioni, dette teoremi. KEYWORDS K teorema / theorem te Sia gli assiomi sia i teoremi sono perciò delle proposizioni, ma il loro ruolo è diverso: Q gli assiomi sono le poche proposizioni iniziali scelte come vere perché hanno qualche caratteristica di evidenza oppure perché descrivono proprietà elementari di una parte della matematica; Q i teoremi sono tutte le proposizioni che si ricavano a partire dagli assiomi. Le dimostrazioni sono i ragionamenti che conduciamo per ricavare (dedurre) un teorema dagli assiomi o da altri teoremi già dimostrati. La maggior parte dei teoremi sono proposizioni di tipo ipotetico; sono cioè implicazioni della forma se A allora B, in cui A e B sono a loro volta proposizioni: Q A costituisce l ipotesi del teorema; Q B è la tesi del teorema. KEYWORDS K ip ipotesi / hypothesis tesi / thesis Possiamo scrivere indifferentemente: Q «A implica B Q «A è condizione sufficiente per B Q «B è condizione necessaria per A ATTENZIONE! A In simboli, scriviamo: A B. Talvolta, il compito di riformulare un teorema, in modo tale che si distinguano chiaramente l ipotesi e la tesi, spetta a chi legge. Per esempio, un teorema come il seguente: Il prodotto di due numeri naturali consecutivi è un numero pari può essere riformulato in questo modo: Se n e m sono due numeri naturali consecutivi qualunque, allora il loro prodotto è un numero pari N Nell unità 1 abbiamo ampiamente discusso delle proposizioni e dei connettivi che permettono di costruire proposizioni composte, tra questi il connettivo della implicazione indicato con la freccia . Diventa allora più chiaro distinguere l ipotesi e la tesi: Q Ipotesi (Ip): n e m sono due numeri naturali consecutivi qualunque; Q Tesi (Ts): n m è un numero pari. (n e m numeri naturali consecutivi) (n m numero pari) esempio e O Riscrivi i seguenti teoremi nella forma se A allora B, distinguendo le ipotesi dalla tesi. a. Un mammifero è vertebrato. Se un animale è un mammifero (Ip), allora esso è un vertebrato (Ts). b. Per votare occorre essere maggiorenni. Se si ha diritto di voto (Ip), allora si è maggiorenni (Ts). c. Un numero naturale divisibile per 6 e per 10 è divisibile per 15. Se un numero naturale è divisibile per 6 (Ip1) e per 10 (Ip2), allora è divisibile per 15 (Ts). d. Potrai uscire con i tuoi amici solo dopo aver studiato e messo a posto la tua camera. Se avrai studiato e messo a posto la tua camera (Ip) allora potrai uscire con i tuoi amici (Ts). FISSA I CONCETTI Q Q Q Gli assiomi sono proposizioni, assunte come vere, dalle quali si ricavano tutti gli altri risultati. I teoremi sono proposizioni, ricavate, attraverso una dimostrazione, a partire dagli assiomi o da altri teoremi precedentemente dimostrati. In un teorema si distinguono l ipotesi e la tesi. 401