GEOMETRIA Esercizi da pag. 426 1 Gli assiomi e i teoremi 1.1. Perché dimostrare Osserva i due disegni: A C A B a. D D C B b. Sia il quadrato sia il rettangolo appaiono formati dalle stesse figure: due triangoli (indicati con A e B) e due trapezi (indicati con C e D). Eppure il quadrato è composto di 8 8 = 64 quadratini, mentre il rettangolo è composto di 5 13 = 65 quadratini. Come è possibile che il rettangolo abbia un quadratino in più? Ciò che mostra il disegno non è possibile; c è qualche inganno, un trucco che l occhio non vede. In realtà, nel disegno b. i lati dei trapezi e dei triangoli non si trovano esattamente sulla stessa retta e quindi non combaciano con la diagonale del rettangolo. La figura b. non è un rettangolo, perché ha un buco delle dimensioni di 1 quadretto, non visibile perché è diluito lungo tutta la diagonale (fig. c.). c. Ingrandimento di b. che mostra l inganno KEYWORDS K dimostrazione / demonstration di «L apparenza inganna , dice un proverbio: per essere certi di una affermazione non basta rappresentarla con un disegno, ma occorre dimostrarla in modo convincente, attraverso un ragionamento: provare che essa segue logicamente da altre affermazioni da tutti già accettate come vere. Se vogliamo quindi costruire un insieme di conoscenze matematiche che siano certe, cioè vere in tutti casi, occorre precisare le «regole del gioco che permettono di dimostrare la loro verità a partire da altre conoscenze accertate come vere. L insieme delle proposizioni, così ottenute, riguardanti una collezione di oggetti (numeri, figure ecc.) costituisce una teoria matematica. Alcune affermazioni, tuttavia, sono così elementari che non è possibile dimostrare la loro verità riconducendole ad altre ancora più semplici. In tal caso le consideriamo vere senza aggiungere altro: esse costituiscono i mattoni fondamentali della teoria matematica che costruiamo. Di ogni particolare teoria matematica, quindi, bisogna stabilire quali sono gli enti fondamentali da considerare, quali relazioni intercorrono tra essi, quali ragionamenti sono corretti. KEYWORDS K aassioma / axiom 400 In primo luogo dobbiamo enunciare alcune proposizioni da ritenere vere: queste sono gli assiomi della teoria matematica da costruire. Tutto il resto deve essere dimostrato, ragionando correttamente, a partire da essi.