ARITMETICA E ALGEBRA 3.2 Il minimo comune multiplo di polinomi Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più polinomi è il polinomio di grado minimo tra tutti quelli che sono multipli dei polinomi dati. Per determinare il mcm si scompone in fattori ogni polinomio e si considerano i fattori comuni e non comuni, scelti con il massimo esponente. Per esempio, i polinomi: 4x2 36y2 x2 6xy + 9y2 x2 + 3xy si scompongono, rispettivamente, nel modo seguente: x(x + 3y) 4(x 3y)(x + 3y) (x 3y)2 L ultimo dei fattori compare elevato alla seconda potenza. Il mcm è, quindi: 4x(x + 3y)(x 3y)2 DEFINIZIONE Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più polinomi è il più piccolo polinomio che è multiplo di tutti. Si ottiene considerando il prodotto di tutti i fattori, ciascuno scelto con il massimo esponente con cui compare. esempi ATTENZIONE! A U volta determinati MCD o mcm Una di più polinomi, è spesso preferibile lasciarli in forma di prodotto. ATTENZIONE! A S Somma di due cubi: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) FISSA I CONCETTI mcm: prodotto dei fattori comuni e non comuni ai polinomi dati, considerati con il massimo esponente. 376 O Determina il minimo comune multiplo dei seguenti polinomi: 2x3 4x2 2 + 2x2 4x 2x3 2x Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 2x3 4x2 = 2x2(x 2) 2 + 2x2 4x = 2(1 + x2 2x) = 2(x 1)2 2x3 2x = 2x(x2 1) = 2x(x 1)(x + 1) Quindi: mcm: 2x2(x + 1)(x 1)2(x 2) O Determina il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti polinomi: a3 + b3 2a2b 2ab2 + 2b3 a+b a2 + b2 I polinomi a + b e a2 + b2 non sono scomponibili; per gli altri abbiamo: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) 2a2b 2ab2 + 2b3 = 2b(a2 ab + b2) Quindi: mcm: 2b(a2 ab + b2)(a + b)(a2 + b2) MCD: 1 O Determina il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti polinomi: x4 y4 2x2y 2xy2 2x3y 4x2y2 + 2xy3 Scomponendo in fattori i tre polinomi, otteniamo: 2x3y 4x2y2 + 2xy3 = 2xy(x2 2xy + y2) = 2xy(x y)2 x4 y4 = (x2 + y2)(x2 y2) = (x2 + y2)(x + y)(x y) 2x2y 2xy2 = 2xy(x y) Quindi: mcm: 2xy(x y)2(x + y)(x2 + y2) MCD: x y