ARITMETICA E ALGEBRA ATTENZIONE! A N Nell esempio a lato consideriamo il binomio a + b come se fosse un unico termine e chiamiamolo S, otteniamo: ax + bx + ay + by = = x (a + b ) + y (a + b ) = S S = xS + yS = S (x + y ) = = (a + b ) (x + y ) ATTENZIONE! A N caso c. conviene mettere in Nel evidenza b. Si ha così il fattore 3a 1, che è lo stesso ottenuto nella prima parte del polinomio. Il polinomio originario non è ancora scomposto in fattori perché è somma di due termini. Tuttavia, il binomio (a + b) moltiplica sia x sia y e, quindi, può essere messo in evidenza: x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) raccogliamo il fattore (a + b) Il polinomio è così scomposto nel prodotto di due fattori: ax + bx + ay + by = (a + b) (x + y) esempio O Scomponi in fattori i seguenti polinomi, mettendo in evidenza per parti. a. 2ab 2ac + 3bx 3cx Indichiamo con uno stesso colore i termini che vogliamo mettere in evidenza: 2ab 2ac + 3bx 3cx = 2a(b c) + 3x(b c) = (b c)(2a + 3x) b. 6x3 3xy + 2x2y2 y3 Evidenziamo con un simbolo le coppie che vogliamo considerare per il raggruppamento: 6x3 3xy + 2x2y2 y3 = = 3x(2x2 y) + y2(2x2 y) = (2x2 y)(3x + y2) c. 3a2 a 3ab + b = a(3a 1) b(3a 1) = (3a 1)(a b) d. x 1 3x2y + 3xy = x 1 3xy(x 1) = (x 1)(1 3xy) e. x2 x xy + y = x(x 1) y(x 1) = (x 1)(x y) f. ax bx + cx + ay by + cy = x(a b + c) + y(a b + c) = = (a b + c)(x + y) Come abbiamo appena visto mettere in evidenza per parti è solo un passaggio intermedio infatti è utile se il passaggio successivo è un raccoglimento totale altrimenti non porta alcun vantaggio. Possiamo dunque affermare che affinché il raccoglimento per parti sia utile è necessario che il polinomio sia costituito da un numero pari di monomi. esempi FISSA I CONCETTI Mettere in evidenza per parti: ax + bx + ay + by = = a (x + y ) + b (x + y ) = = (a + b )(x + y ) si esegue prima un raccoglimento parziale e poi un raccoglimento totale. 370 O Scomponi in fattori il polinomio a3 + 2a2b 2ab2 4b3 + 2b (5 termini). Decidiamo di considerare i primi due termini e poi gli ultimi tre: a3 + 2a2b 2ab2 4b3 + 2b = a2(a + 2b) 2b(ab + 2b2 1) Ciò che abbiamo ottenuto non è una scomposizione in fattori (è ancora una differenza) e non possiamo procedere con un altro raccoglimento a fattore comune. Avremmo potuto procedere in quest altro modo: a3 + 2a2b 2ab2 4b3 + 2b = a2(a + 2b) 2b2(a + 2b) + 2b = = (a + 2b) (a2 2b2) + 2b ma anche in questo caso ciò che otteniamo non è una scomposizione in fattori e non possiamo raccogliere a fattore comune. O Scomponi in fattori il polinomio a3 + 2a2b 2ab2 4b3 + a + 2b (6 termini). a3 + 2a2b 2ab2 4b3 + a + 2b = a2(a + 2b) 2b2(a + 2b) + a + 2b = = (a + 2b)(a2 2b2 + 1) Questa è una scomposizione in fattori.