7 Scomposizione in fattori di un polinomio Se i coefficienti di un polinomio non sono tutti numeri interi, allora non ci si può limitare all insieme Z e la scomposizione del polinomio può avvenire in molti modi. Per esempio: _1_x2y3 _3_x2 = _1_x2 (y3 3) = _3_x2 _1_ y3 1 = _1_x2 (2y3 6) ) 4 2 2 2 2 (3 In generale si mette in evidenza il MCD della parte letterale e per la parte numerica ci si regola a seconda dei casi, in modo da rendere l espressione la più semplice possibile. esempio O Scomponi in fattori i seguenti polinomi, mettendo opportunamente in evidenza. a. 3x4y2z3 + 6x3yz4 xz3 il MCD è xz3 quindi: xz3(3x3y2 + 6x2yz 1) b. 6abc 12a + 3a2 il MCD è 3a quindi: 3a (2bc 4 + a) 4 3 c. x x + 4xy il MCD è x quindi: x(x3 x2 + 4y) d. a4b5c3 3a3b7 il MCD è a3b5 quindi: a3b5 (ac3 3b2) e. 3xyz 9abc5 il MCD è 3 quindi: 3( xyz 3abc5) f. 25a4b5 20a4b3 35a6b2c il MCD è 5a4b2 quindi: 5a4b2( 5b3 4b 7a2c) 3 1 g. __ x2y3 __ x2 2 2 In questo caso non si può parlare di MCD tra i coefficienti numerici perché essi non sono numeri interi, si può tuttavia scomporre il polinomio, per esempio in questo modo: _1_x2 (y3 3) 2 Per ciascuno dei precedenti esempi possiamo effettuare la controprova rimoltiplicando il fattore messo in evidenza per il polinomio tra parentesi e verificare se il risultato è il polinomio di partenza. Per esempio, nel primo caso abbiamo: a. xz3(3x3y2 + 6x2yz 1) = 3x4y2z3 + 6x3yz4 xz3 che è proprio il polinomio a. sempre possibile mettere in evidenza il fattore 1, ponendo il segno davanti alla parentesi e cambiando i rispettivi segni dei termini del polinomio all interno della parentesi rispettando la regola dei segni. Così, nei casi e. ed f. può anche essere utile scrivere: e. 3xyz 9abc5 = 3(xyz + 3abc5) f. 25a4b5 20a4b3 35a6b2c = 5a4b2(5b3 + 4b + 7a2c) ATTENZIONE! A possibile mettere in evidenza un monomio con coefficiente numerico positivo oppure un monomio con coefficiente numerico negativo facendo attenzione ai segni del polinomio dentro la parentesi. Q Per evitare gli errori più grossolani, è utile controllare che, dopo aver messo in evidenza, il polinomio tra parentesi abbia lo stesso numero di termini di quello originario. Q FISSA I CONCETTI Per scomporre un polinomio si mette in evidenza il fattore di grado massimo comune a tutti i termini (il MCD): ax + ay = a (x + y) 1.3 Mettere in evidenza per parti Per scomporre in fattori un polinomio, in alcuni casi si può applicare la proprietà distributiva soltanto a parti del polinomio ovvero mettiamo in evidenza per parti e, successivamente, mettiamo di nuovo in evidenza un eventuale fattore comune. Per esempio, nel polinomio: ax + bx + ay + by possiamo considerare separatamente i due polinomi ax + bx e ay + by e mettere rispettivamente in evidenza x e y: ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) ATTENZIONE! A P Possiamo dire mettiamo in evidenza per parti oppure facciamo un raccoglimento parziale in quanto significano la stessa cosa. 369