ARITMETICA E ALGEBRA Esercizi da pag. 384 1 Introduzione alle scomposizioni 1.1 Che cosa vuol dire scomporre KEYWORDS K s scomporre in fattori / splitting into factors ATTENZIONE! A L scomposizione in fattori La di un polinomio è il procedimento inverso della moltiplicazione: dal risultato si risale ai fattori che lo compongono. Scomporre in fattori un polinomio significa trovare dei polinomi, diversi da 1, che, moltiplicati tra loro, danno come prodotto il polinomio stesso. Per esempio, il polinomio 12a4b 12a3b2 + 3a2b3 si può scomporre in fattori nel modo seguente: 12a4b 12a3b2 + 3a2b3 = 3a2b(2a b)2 Infatti, se eseguiamo i prodotti a destra del segno di uguaglianza otteniamo: 3a2b(2a b)2 = 3a2b(4a2 4ab + b2) = 12a4b 12a3b2 + 3a2b3 Mentre è piuttosto semplice calcolare il prodotto di più fattori, non lo è altrettanto scomporre un polinomio e riscriverlo come moltiplicazione di più fattori. Infatti, non tutti i polinomi sono scomponibili e non è immediato riconoscere quelli che lo sono; non esistono metodi o algoritmi generali che permettano di trovare i loro fattori. inoltre importante stabilire l ambiente numerico in cui si opera. A meno che non sia diversamente indicato, considereremo qui di seguito la scomposizione di un polinomio a coefficienti razionali ricercandone i fattori, anch essi, a coefficienti razionali. Nel seguito analizzeremo soltanto alcune tecniche di scomposizione, relative a casi particolari. FISSA I CONCETTI La scomposizione in fattori di un polinomio consiste nel trasformare il polinomio di partenza nel prodotto di due o più polinomi. APPROFONDIMENTO A C Come per i numeri, anche per i polinomi la scomposizione in fattori evidenzia le caratteristiche fondamentali di un polinomio. Un polinomio a coefficienti interi è, infatti, scomponibile in fattori primi (cioè non ulteriormente scomponibili) in modo unico (a meno del segno). 1.2 Mettere in evidenza il MCD dei termini ATTENZIONE! A P Possiamo dire mettere in evidenza o fare un raccoglimento totale perché significano la stessa cosa. La prima tecnica che si utilizza per scomporre in fattori un polinomio è quella di mettere in evidenza il massimo comune divisore (MCD) dei suoi termini, qualora sia diverso da 1. Questo procedimento consiste nell applicare al contrario la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione. Per esempio, nel polinomio 5x2y4z3 + 10x3y2 il MCD dei termini è 5x2y2; mettendo in evidenza tale monomio, il polinomio viene così riscritto: 5x2y4z3 + 10x3y2 = 5x2y2 (y2z3 + 2x) I termini tra le parentesi sono ottenuti da quelli del polinomio dato, divisi per 5x2y2. Il polinomio è stato così scomposto in due fattori: un monomio (5x2y2) e un binomio (y2z3 + 2x). 368