Fuori dagli schemi F Perché scomporre? Vogliamo dimostrare che se nel polinomio n3 + 6n2 + 11n + 6 sostituiamo un qualsiasi numero naturale a n, otteniamo sempre un multiplo di 6. Costruiamo un modello Potremmo procedere per tentativi e costruire una tabella come la seguente. n n3 + 6n2 + 11n + 6 (n3 + 6n2 + 11n + 6) mod 6 1 p(1) = 24 0 2 p(2) = 60 0 3 p(3) = ................ 4 p(4) = ................ 5 p(5) = ................ 6 p(6) = ................ 7 p(7) = ................ 8 p(8) = ................ 9 p(9) = ................ 10 p(10) = ................ Nella prima colonna sono riportati i valori di n N0, nella seconda i valori assunti dal polinomio per il corrispondente valore n ovvero p(n). La terza colonna riporta il resto della divisione di p(n) per 6 e, come puoi notare, si ottiene sempre come resto ............; ciò ci porta a supporre che i valori p(n), qualunque sia il numero naturale n, siano tutti multipli di 6. Possiamo essere certi di questa deduzione anche per valori di n maggiori di 10? Per esserne certi dovremmo estendere la tabella all infinito, ma è ovviamente un metodo impossibile. Per dimostrare la nostra affermazione, stabilendo così che è valida nel caso generale, ci viene in aiuto la scomposizione in fattori di un polinomio il cui studio affronteremo in questa unità. Questo metodo ci permetterà di affermare che: n3 + 6n2 + 11n + 6 = (n + 1) (n + 2) (n + 3) Facciamo la prova svolgendo i calcoli utilizzando la proprietà distributiva: (n + 1) (n + 2) (n + 3) = ............................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................... Scritto come prodotto dei tre fattori notiamo che il polinomio è il prodotto di tre numeri naturali consecutivi e, quindi, che uno di essi è certamente multiplo di 3. Inoltre, poiché almeno uno dei tre numeri è pari e quindi multiplo di 2, si deduce che il prodotto dei tre fattori è un multiplo di 2 3 = 6. Nelle prossime pagine daremo un senso a queste osservazioni. 367