RELAZIONI E FUNZIONI Come abbiamo visto in generale per le corrispondenze, anche per le funzioni vale la stessa distinzione tra codominio e immagine. La corrispondenza biunivoca I protagonisti della matematica Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), è stato un matematico e filosofo tedesco che per primo introdusse il concetto di funzione per rappresentare un legame di dipendenza tra due grandezze. La sua definizione ha percorso, nella storia, vari stadi di generalizzazione, fino a quella oggi utilizzata in matematica: la funzione è un particolare tipo di corrispondenza. DEFINIZIONE Una funzione da A a B di tipo 1 1 in cui l immagine coincide con il codominio si dice corrispondenza biunivoca. Un semplice esempio lo hai nel registro di classe: a ogni alunno è associato il proprio numero d ordine. Se la classe è formata da 25 ragazzi, allora la corrispondenza tra l insieme degli alunni e l insieme dei numeri da 1 a 25 è biunivoca. indifferente indicare l alunno o il suo numero d ordine nel registro per capire a chi vogliamo rivolgerci. La corrispondenza biunivoca talvolta è indicata con una freccia a doppia punta: {alunni della tua classe} {numeri naturali tra 1 e 25} Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi A e B è una corrispondenza univoca nei due versi, da A a B e da B a A, e tale che tutti gli elementi dei due insiemi sono da essa coinvolti. Quindi, se stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra due insiemi possiamo individuare ogni elemento dell uno con il corrispondente elemento dell altro. Di conseguenza, due insiemi finiti A e B che sono in corrispondenza biunivoca hanno lo stesso numero di elementi. Nella figura seguente è rappresentata una corrispondenza biunivoca: a ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B e viceversa. Approfondisci A Gottfried Wilhelm von Leibniz B Corrispondenza biunivoca Il criterio più semplice per stabilire se due insiemi hanno lo stesso numero di elementi è vedere se possono essere messi in corrispondenza biunivoca. Anche per confrontare due insiemi infiniti si utilizza in matematica lo stesso criterio: se tra due insiemi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca, si dice che gli insiemi hanno la stessa cardinalità. In generale, non è detto che due insiemi infiniti abbiano la stessa cardinalità. Esistono, infatti, infiniti più o meno numerosi. FISSA I CONCETTI Q Q Q Dato un elemento x, l elemento y tale che y = f (x) si chiama immagine di x. Insieme immagine: è il sottoinsieme del codominio formato dagli elementi corrispondenti. Corrispondenza biunivoca: è una funzione con l insieme di definizione coincidente con il dominio e con l insieme immagine coincidente con il codominio. 34 esempio O Dimostra che i due seguenti insiemi contengono lo stesso numero di elementi pur essendo infiniti: Q A = {numeri primi} Q B = {quadrati di numeri primi} La funzione che a ogni numero primo p associa il suo quadrato, p p2, stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e B: quindi a ogni elemento di A è associato uno e un solo elemento di B e viceversa. Gli insiemi A e B hanno, quindi, lo stesso numero di elementi. Te lo saresti mai immaginato? Puoi trovare altri esempi di questo tipo?