5.1 L’immagine di una funzione

1 Insiemi, proposizioni e relazioni Se una funzione è di tipo 1 1, allora, conoscendo l elemento corrispondente, si può risalire all elemento dell insieme di definizione da cui esso proviene. La funzione b. dell esempio precedente non è di tipo 1 1: dall indirizzo di residenza non possiamo risalire univocamente a una persona perché generalmente sono molte le persone che hanno lo stesso indirizzo. Una funzione con queste caratteristiche è detta di tipo molti 1: esistono elementi diversi dell insieme di definizione a cui corrisponde lo stesso elemento del codominio. A B FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Una corrispondenza è una legge che associa elementi di due insiemi detti rispettivamente dominio e codominio. Dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) si dice funzione da A a B la legge che associa a ogni elemento di A al massimo un solo elemento di B. Insieme di definizione: è il sottoinsieme del dominio che ha corrispondenza nel codominio. Una funzione è una corrispondenza univoca. Può essere: di tipo 1 1 di tipo molti 1 molti a 1 5.1 L immagine di una funzione Consideriamo la seguente corrispondenza: «A ognuno degli studenti delle prime classi dell anno scolastico passato è associato il corrispondente voto finale in matematica . In questo modo definiamo una funzione dall insieme degli studenti delle prime classi dell anno scorso all insieme dei numeri naturali compresi tra 1 e 10. Tuttavia, non è detto che ogni numero compreso tra 1 e 10 sia il voto di qualcuno: è raro che uno studente riceva 1 oppure 10. I voti effettivi costituiscono un sottoinsieme dei voti teoricamente possibili. Indichiamo con: Q A l insieme di definizione della funzione, cioè l insieme degli studenti delle prime classi dell anno scorso; Q B il codominio della funzione, cioè l insieme di tutti i voti possibili, cioè i numeri naturali da 1 a 10; Q C il sottoinsieme di B a cui appartengono i voti effettivamente riportati da qualche studente, nell ipotesi che nessuno abbia riportato 1 o 10. A 1 2C 3 4 5 6 7 8 9 10 B insieme di definizione codominio immagine Il sottoinsieme C B a cui effettivamente arriva qualche freccia si chiama immagine della funzione. Esso è formato da tutti e soli gli elementi che corrispondono almeno a un elemento di A cioè: KEYWORDS K immagine / image im per ogni y C esiste x A tale che y = f(x) Come mostra l esempio considerato, non sempre l immagine di una funzione coincide con il suo codominio. 33

Il Maraschini-Palma - volume 1
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