6.4 Il cubo di un binomio

6 Monomi e polinomi Per esempio, calcolando (1 2a + 3ab 4ab2)2 otteniamo: = 1 + 4a2 + 9a2b2 + 16a2b4 4a + 6ab 8ab2 12a2b + 16a2b2 24a2b3 = quadrati dei 4 termini 2 2 2 doppi prodotti 2 2 = 1 + 4a + 25a b + 16a2b4 4a + 6ab 8ab 12a b 24a2b3 FISSA I CONCETTI (R + S + T )2 = = R 2 + S 2 + T 2 + 2RS + 2RT + 2ST è il quadrato di un trinomio. I segni dei doppi prodotti dipendono dai segni dei singoli termini. 6.4 Il cubo di un binomio Calcoliamo il cubo di un binomio seguendo due esempi. Q I due termini hanno lo stesso segno: (S + T)3 = (S + T)2(S + T) = (S2 + 2ST + T2)(S + T) = = S3 + S2T + 2S2T + 2ST2 + ST2 + T3 = S3 + 3S2T + 3ST2 + T3 Q I due termini hanno segni diversi: (S T)3 = (S T)2(S T) = (S2 2ST + T2)(S T) = = S3 S2T 2S2T + 2ST2 + ST2 T3 = S3 3S2T + 3ST2 T3 Otteniamo, in entrambi i casi, un polinomio di quattro termini, omogeneo di terzo grado. Per determinare i segni di ogni termine basta riflettere sul segno dei prodotti e delle potenze con i numeri relativi. ATTENZIONE! A P ricordare una sola formula, Per possiamo scrivere il secondo (S T )3 ponendo (S + ( T ))3 Il cubo di un binomio è uguale alla somma dei cubi dei due monomi che lo costituiscono, del triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, del triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo: (S + T )3 = S 3 + 3S 2T + 3ST 2 + T 3 esempio O Calcola i seguenti cubi di binomi. triplo prodotto del quadrato del 1° termine per il 2° triplo prodotto del 1° termine per il quadrato del 2° cubo 1° termine cubo 2° termine a. (a 2b) = a + 3a ( 2b) + 3a( 2b) + ( 2b) = 3 3 2 2 3 KEYWORDS K cu di un binomio / cubo cube of a binomial = a3 6a2b + 12ab2 8b3 b. ( 1 + x)3 = ( 1)3 + 3( 1)2x + 3( 1)x2 + x3 = 1 + 3x 3x2 + x3 1 3 1 1 2 1 3 c. (x2 y3 + _) = (x2y3)3 + 3(x2y3)2 _ + 3x2y3(_) + (_) = 2 2 2 2 3 3 1 = x6y9 + _x4y6 + _x2y3 + _ 2 4 8 3 3 2 d. ( x 2) = ( x) + 3( x) ( 2) + 3( x)( 2)2 + ( 2)3 = PROVA TU P S Senza effettuare i calcoli, qual è il grado del polinomio risultato di (a3 + b4)3 ? = x3 6x2 12x 8 ATTENZIONE! A N calcolare il cubo di un binomio, osserviamo che, scrivendo i monomi nell ordine della formula, i Nel casi possibili sono i seguenti: Q se S e T entrambi positivi allora tutti i termini del cubo del binomio sono positivi; Q se S positivo e T negativo allora i termini del cubo del binomio hanno alternativamente segno positivo e negativo; Q se S negativo e T positivo allora i termini del cubo del binomio hanno alternativamente segno negativo e positivo; Q se S e T entrambi negativi allora i termini del cubo del binomio sono tutti negativi. FISSA I CONCETTI (S + T )3 = S 3 + 3S 2T + 3ST 2 + T 3 è il cubo del binomio, i segni dei tripli prodotti dipendono dai segni dei singoli termini. 323

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.