6 Monomi e polinomi 5.2 La moltiplicazione di un monomio per un polinomio Per effettuare la moltiplicazione di un monomio per un polinomio applichiamo la proprietà distributiva e otteniamo come risultato un polinomio. Sappiamo, infatti, che: a (b + c) = ab + ac DEFINIZIONE Il prodotto di un monomio per un polinomio è il polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando il monomio per ogni termine del polinomio. esempio O Calcola i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio. a. 3ab (2a2b + 5ab3c2 a3bc) = = 3ab 2a2b + 3ab 5ab3c2 3ab a3bc = = 6a3b2 + 15a2b4c2 3a4b2c Il calcolo intermedio può essere effettuato mentalmente. b. 5x2 (2xy + 3xy2z xz2) = 10x3y 15x3y2z + 5x3z2 1 2 4 c. _ a (_ b + ab2 _) = 2 3 3 21 1 1 1_ 42 ___ ___ _ = a b a ab2 ___ a __ = 2 2 3 2 3 1 1 1 2 2 _ 2 1 _ _ = ab a b + a 3 2 3 1 3 1 3 d. (_ xy3z5 _ xy2z3) x2y3z = _ x3y6z6 _ x3y5z4 3 4 3 4 ATTENZIONE! A F Forse sei abituato, nel moltiplicare due frazioni, a segnare la semplificazione con delle barrette. Per esempio: 1 1 2 __ __ = _ 3 2 3 Evita di ultizzare questa notazione prima di applicare la proprietà distribuitiva: 2 1 No __ a (__ b + ab2) = 3 2 1 2 1 Sì = __ a __ b _ a ab2 = 2 2 3 1 1 = _ ab _ a2b2 3 2 FISSA I CONCETTI Il prodotto di un monomio per un polinomio si ottiene moltiplicando il monomio per ciascun termine del polinomio. 5.3 La moltiplicazione di polinomi Utilizziamo la proprietà distributiva anche per la moltiplicazione di due polinomi. Se dobbiamo calcolare: (a + b) (c + d + e) consideriamo il fattore (c + d + e) e applichiamo la proprietà distributiva: (a + b) (c + d + e) = a (c + d + e) + b (c + d + e) Applichiamo di nuovo la proprietà distributiva a ciascuno dei due termini e otteniamo: ac + ad + ae + bc + bd + be Il risultato, di fatto, è il polinomio ottenuto moltiplicando ciascuno dei termini del primo polinomio per ciascuno dei termini del secondo: (a + b) (c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be DEFINIZIONE Il prodotto di due polinomi è il polinomio i cui termini sono i prodotti di ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo. APPROFONDIMENTO A A Avremmo potuto procedere in modo analogo, considerando: (a + b)(c + d + e) = = (a + b)c + (a + b) d + (a + b)e applicando, cioè, la proprietà distributiva all altro fattore. I due procedimenti sono del tutto equivalenti. tuttavia consigliabile, almeno agli inizi, adottarne uno solo, arbitrariamente scelto, per evitare eventuali confusioni. 317