ARITMETICA E ALGEBRA esempio O Calcola la somma p + q dei seguenti polinomi, riscrivendola in forma ridotta. 1 1 a. p(x; y) = 2x _xy + 1; q(x; y; z) = x2 + _xy z 1 2 2 1 1 2x _xy + 1 + x2 + _xy z 1 = 2x + x2 z 2 2 p q 1 b. p(a; b; x) = _bx3 + 4ab; q(a; b; x) = 5ab 3bx3 2 1 7 3 3 _ _bx3 + 4ab 5ab 3bx = bx ab 2 2 q p c. p(a; b) = 3a4b + ab; q(a; b) = 3a4b ab 3a4b + ab + 3a4b ab = 0 p q L addizione di polinomi ha le seguenti proprietà: Q è associativa; Q è commutativa; Q 0 è l elemento neutro; Q ogni polinomio ammette l inverso rispetto all addizione, il suo opposto, che si ottiene cambiando il segno di ciascuno dei suoi termini. Per esempio, se p(a; b) = a b allora p(a; b) = (a b) = a + b. KEYWORDS K p polinomio opposto / opposite polynomial Nell insieme P dei polinomi è così definita l operazione inversa dell addizione, la sottrazione, che si ottiene addizionando il polinomio opposto. esempi O Calcola la differenza p q nei seguenti casi: a. p(a; b) = 2a2 + 5ab 8ab2 q(a) = a 3a2 2 2 2a 5ab 8ab (a 3a2) = 2a2 + 5ab 8ab2 a + 3a2 = + p q = 5a + 5ab 8ab a 2 2 1 1 b. p(x; y) = _ x + y q(x; y) = x + xy + 4y + __ 2 2 1 1 1 1 _ x + y ( x + xy + 4y + _) = _ x + y + x xy 4y _ = 2 2 2 2 = 1 3y xy c. p(a; x) = ax2 + 4ax 1 FISSA I CONCETTI Q Q Q L addizione è associativa e commutativa; 0 è l elemento neutro dell insieme P rispetto all addizione. La somma di due polinomi è l addizione di tutti i termini dei due polinomi. La differenza di due polinomi è l addizione dei termini del primo polinomio con i termini opposti del secondo polinomio. 316 q(a; x) = ax2 4ax 1 ax2 + 4ax 1 (ax2 4ax 1) = ax2 + 4ax 1 ax2 + 4ax + 1 = 8ax O Semplifica la seguente espressione: (ab + a 1) + (a (ab + 1)) (1 (a + ab)) Per prima cosa togliamo le parentesi che non contengono altre parentesi, cambiando tutti i segni se sono precedute dal segno . Otteniamo: (ab + a 1) + (a (ab + 1)) (1 (a + ab)) = = ab a + 1 + (a ab 1) (1 a ab) = = ab a + 1 + a ab 1 1 + a + ab = ab + a 1