1 Insiemi, proposizioni e relazioni La proprietà riflessiva DEFINIZIONE Una relazione definita in un insieme A è riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con sé stesso. Sinteticamente possiamo scrivere: per ogni x A, x rel x Un esempio di relazione riflessiva è «essere uguale nell insieme dei numeri naturali. Ogni numero è, infatti, uguale a sé stesso. La relazione «essere maggiore non è invece riflessiva. Sottolineiamo che una relazione ha una determinata proprietà soltanto se tale proprietà è verificata da tutti gli elementi dell insieme; per questo abbiamo precisato che x è un qualsiasi elemento dell insieme, con l indicazione che per ogni x appartenente ad A, si ha x rel x. Se anche una sola coppia di elementi non verifica la proprietà, allora la relazione non ha tale proprietà. Spesso si usa il simbolo in sostituzione dell espressione «per ogni : x A, x rel x. ATTENZIONE! A IlI simbolo significa «per ogni . Q Le frasi: «La relazione gode della proprietà riflessiva «La relazione è riflessiva sono equivalenti. Q esempio O Considera la seguente relazione nell insieme N dei numeri naturali: rel: «due numeri naturali qualsiasi, x e y, sono in relazione se e soltanto se il loro prodotto è un numero pari In simboli: x rel y x y è pari Stabilisci quali tra le seguenti proposizioni sono vere: a. 3 rel 2 b. 3 rel 5 c. 2 rel 2 Stabilisci, inoltre, se la relazione è riflessiva. ATTENZIONE! A L relazione deve valere per tutti La i numeri naturali x, y. Quindi: x, y N, x rel y x y è pari a. 3 rel 2 è vera perché 3 2 = 6 che è un numero pari. b. 3 rel 5 è falsa perché 3 5 = 15 che non è un numero pari. c. 2 rel 2 è vera perché 2 2 = 4 che è un numero pari. Anche se qualche elemento è in relazione con sé stesso, ci sono però elementi che non hanno tale proprietà; per esempio: 3 rel 3 perché 3 3 = 9 che non è pari Non è quindi vero che ogni elemento dell insieme è in relazione con sé stesso; perciò la relazione qui definita non è riflessiva. La proprietà simmetrica DEFINIZIONE Una relazione definita in un insieme A è simmetrica se non ha importanza l ordine con cui si considerano gli elementi. In altri termini, se x è in relazione con y, allora y è in relazione con x: per ogni x, y A, x rel y y rel x Un esempio di relazione simmetrica è quella definita dal predicato «essere fratelli nell insieme delle persone. Infatti, chiunque siano x e y, se x è fratello di y, allora necessariamente y è fratello di x. Un esempio di relazione non simmetrica è «essere innamorati , definita nell insieme delle persone: infatti, se x è innamorato di y, non è detto che anche y sia innamorato di x. 25