4 Per esempio, costruiamo il triangolo A B C corrispondente del triangolo ABC nell omotetia di centro P e rapporto k = 2. Trasformazioni geometriche nel piano A ATTENZIONE! A A k=2 P B I segmenti PA , PB e PC hanno lunghezza doppia dei loro rispettivi corrispondenti PA, PB e PC. C B C Tutte le misure lineari del triangolo A B C sono il doppio di quelle del triangolo ABC. Le ampiezze degli angoli restano invece inalterate; sono cioè invarianti nell omotetia. A Quella a lato è, per esempio, un omotetia, A 1 sempre di centro P, ma di rapporto k = _ 2 P k=1 2 applicata al triangolo ABC; tutte le misure B lineari risultano dimezzate. PROVA TU L omotetia con GeoGebra C B C In sintesi possiamo avere tre diversi casi: Q se il rapporto k (diverso da 0) è maggiore di 1, il risultato dell omotetia è un ingrandimento della figura data; Q se k è invece compreso tra 0 e 1, il risultato dell omotetia è una riduzione della figura data; Q se il rapporto k è uguale a 1, a ogni punto corrisponde sé stesso e l omotetia si riduce all identità. Possiamo anche considerare un omotetia il cui rapporto è un numero negativo. Nella costruzione, tracciamo le rette passanti per P e per ciascun vertice, ma questa volta il corrispondente di ciascun punto si troverà sulla semiretta dalla parte opposta rispetto a P. Nella seguente figura, per esempio, abbiamo due omotetie di centro P e rispettivi 1 rapporti k = 2 e k = _, applicate al triangolo ABC. 2 C A B ATTENZIONE! A PA , PB e PC hanno lunghezza doppia di quella di PA, PB e PC. Q PA , PB e PC hanno lunghezza metà di quella di PA, PB e PC. Q P B A C B A k = 1 2 k = 2 A P B C C esempio C O Qual è il corrispondente nell omotetia di centro P e rapporto 1 del quadrilatero ABCD in figura? Come puoi chiamare questa trasformazione? D P A B 223