4 Trasformazioni geometriche nel piano In una simmetria rimangono fissi soltanto i punti che appartengono all asse: tutti gli altri hanno per corrispondenti punti che giacciono nel semipiano opposto rispetto a esso. esempio ATTENZIONE! A O Il triangolo di vertici A(3 ; 1), B(6 ; 1), C(3 ; 3) si trasforma nel triangolo di vertici A (1 ; 1), B (1 ; 4), C ( 1 ; 1). Verifica che la trasformazione è una simmetria assiale e disegnane l asse. Disegniamo il triangolo ABC e il suo trasformato A B C . La trasformazione è una isometria. Tracciamo i rispettivi assi dei segmenti AA , BB e CC . Essi coincidono in una retta parallela alla bisettrice del I e del III quadrante. L asse di questa simmetria è, quindi, la retta che passa, per esempio, per i punti (2 ; 0) e (1 ; 1). y B N confondere la simmetria Non rispetto a un asse con la simmetria rispetto a un punto: la simmetria assiale muta l orientamento dei punti del piano, mentre la simmetria centrale è una rotazione e, quindi, non muta l orientamento dei punti. A C A O B x C FISSA I CONCETTI Q Traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali sono trasformazioni che mantengono tutte le misure, sia lineari sia angolari. Proprio per questo sono dette isometrie. DEFINIZIONE Due figure che si corrispondono in una isometria sono dette congruenti. Due figure congruenti hanno tutte le misure uguali. 6 Le trasformazioni Q Invarianti di una simmetria assiale: la lunghezza dei segmenti; l ampiezza degli angoli; il parallelismo; il rapporto tra i segmenti. Due figure corrispondenti in una isometria si dicono congruenti. Esercizi da pag. 255 non isometriche Non tutte le trasformazioni sono isometriche. Proprio la trasformazione geometrica della visione in prospettiva, da cui siamo partiti in questa unità, è un esempio di trasformazione che non mantiene né misure né forma degli oggetti osservati. D D C C Esaminiamo due esempi di trasformazioni non isometriche del piano, a partire dal rettangolo ABCD A A B con una sua diagonale AC, in un piano quadrettato. Consideriamo la trasformazione nella figura a lato. Con questa prima trasformazione otteniamo il rettangolo A B C D , che è un ingrandimento di quello dato: le misure sono variate, ma la forma si è conservata. L ingrandimento mantiene il parallelismo (lati paralleli si trasformano in lati anch essi paralleli) e mantiene anche le direzioni (i segmenti mantengono le loro reciproche inclinazioni). Poiché mantiene le direzioni, l ingrandimento mantiene anche le misure degli angoli: per esempio, l angolo che la diagonale AC forma con il lato AB ha la stessa ampiezza dell angolo che la diagonale A C forma con il lato A B . B 219