GEOMETRIA 2.4 I legami tra invarianti APPROFONDIMENTO A Tu le proposizioni a lato sono del Tutte tipo se allora. Osserviamo che in nessuna di esse si può invertire l ipotesi (cioè la parte di proposizione che segue il se) con la tesi (cioè la parte di proposizione che segue l allora). Infatti: Q esistono trasformazioni che hanno come invariante il parallelismo, ma non le direzioni (quando per esempio una figura viene fatta ruotare); Q esistono trasformazioni che hanno come invariante il parallelismo, ma non la lunghezza dei segmenti (per esempio, quando una figura viene ingrandita); Q esistono trasformazioni che hanno come invariante l ampiezza degli angoli, ma non la lunghezza dei segmenti (l ingrandimento è ancora un esempio di trasformazione con questa caratteristica). Gli invarianti di una trasformazione non sono slegati gli uni dagli altri, ma ci possono essere, tra essi, delle relazioni. Vediamo qualche esempio. Q Se una trasformazione mantiene le direzioni, allora ha come invariante anche il parallelismo. Infatti, se in una figura vi sono due rette tra loro parallele, esse, una volta effettuata la trasformazione, mantengono la stessa direzione e quindi restano tra loro parallele. Q Se una trasformazione mantiene la lunghezza dei segmenti, allora ha come invariante anche il parallelismo. Infatti, due rette sono parallele soltanto nel caso in cui siano a distanza costante. Allora, se in una trasformazione si mantengono le lunghezze, le due rette continuano a trovarsi a distanza costante e rimangono pertanto parallele. d d d d FISSA I CONCETTI Gli invarianti di una trasformazione possono essere in relazione tra loro nel senso che uno ne può implicare un altro. Esercizi da pag. 239 Q Se una trasformazione mantiene la lunghezza dei segmenti, allora ha come invariante anche l ampiezza degli angoli. facile rendersi conto, da un punto di vista intuitivo, di tale proprietà, che si basa sulla rigidità dei triangoli. 3 Le isometrie Le trasformazioni di cui ci occuperemo ora, oltre a essere collineazioni, hanno come invarianti le misure, sia dei segmenti sia degli angoli. Per tale motivo sono dette isometrie. KEYWORDS K isometria / isometry is DEFINIZIONE Si dice isometria una trasformazione geometrica che conserva inalterate tutte le misure, sia lineari sia angolari. Poiché una isometria mantiene tutte le misure, essa fa corrispondere a due rette parallele altre due rette anch esse parallele. Il parallelismo è, quindi, un invariante in una isometria. La più banale isometria è l identità: è la trasformazione che a ogni punto del piano associa sé stesso. Ogni punto del piano è un punto fisso e quindi anche ogni figura corrisponde a sé stessa (resta fissa nella trasformazione). Le altre isometrie, non banali come l identità, che ora consideriamo sono: le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie assiali. 206