GEOMETRIA KEYWORDS K in invariante di una trasformazione / invariant Queste caratteristiche che si mantengono sono dette invarianti della trasformazione. Tanto più radicale è la trasformazione, tanto minori sono i suoi invarianti, cioè le caratteristiche che non mutano in seguito alla sua applicazione. Se, per esempio, immaginiamo il piano come un tessuto elastico e come trasformazione il suo essere tirato in vario modo, non necessariamente le linee rette rimangono tali: l allineamento dei punti non è un invariante in tale drastica trasformazione. FISSA I CONCETTI Q Q Q Sono invarianti le caratteristiche che si mantengono anche dopo la trasformazione. Più radicale è la trasformazione del piano, meno numerosi sono gli invarianti. Le trasformazioni che consideriamo sono: corrispondenze biunivoche tra i punti del piano; collineazioni (a retta corrisponde retta, a segmento corrisponde segmento). Per le trasformazioni geometriche piane che analizzeremo nei prossimi paragrafi escluderemo questi casi più radicali. Esse, pur diverse tra loro, avranno sempre le seguenti caratteristiche. I. Sono corrispondenze biunivoche: a ogni punto P del piano associano uno e uno solo punto P del piano. Se al punto P corrisponde sé stesso, allora si dice che P è un punto fisso nella trasformazione, perché resta invariato. Considerate le figure come insiemi di punti del piano, a ogni punto di una figura è associato uno e un solo punto della sua figura corrispondente nella trasformazione. II. Sono collineazioni: hanno cioè come invariante l allineamento dei punti. A ogni linea retta corrisponde, nella trasformazione, una linea retta; a ogni segmento, corrisponde un segmento nella figura corrispondente nella trasformazione. 2.3 Gli invarianti di una trasformazione ATTENZIONE! A S Spesso studieremo l effetto di una trasformazione su una figura per poterla individuare più facilmente. Tuttavia, una trasformazione geometrica non riguarda solo i punti della figura considerata, bensì tutti i punti del piano. Una trasformazione si caratterizza per ciò che lascia invariato: i suoi invarianti. Questi possono essere di vario genere. Qui di seguito ne consideriamo i principali. La lunghezza dei segmenti Una trasformazione presenta come invariante la lunghezza dei segmenti quando tutti i segmenti che si possono tracciare nel piano rimangono della stessa lunghezza. Così, per esempio, nella trasformazione dalla figura F alla figura F , ottenuta per schiacciamento (vedi pagina seguente), la lunghezza dei segmenti non è un invariante perché, pur conservandosi le lunghezze dei lati, se tracciamo le sue diagonali (che sono anch esse segmenti della figura), le loro lunghezze si modificano. 202