4 Trasformazioni geometriche nel piano Possiamo ora considerare il caso generale di due punti qualsiasi, di coordinate: P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) Indichiamo con H il punto di intersezione della retta passante per P1 e parallela all asse x e della retta passante per P2 e parallela all asse y, come osserviamo nella seguente figura. y y2 P2 y2 y 1 y1 P1 O H x1 x2 x x2 x 1 Il triangolo P1HP2 è rettangolo e P1P2 è la sua ipotenusa; possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora, che, come ricorderai, stabilisce che in un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all area del quadrato costruito sull ipotenusa: (P1P2)2 = (P1H)2 + (P2H)2 D altra parte: (P1H)2 = (x2 x1)2 (P2H)2 = (y2 y1)2 dunque: (P1P2)2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 Poiché la distanza d(P1, P2) è la lunghezza del segmento P1P2, possiamo scrivere la formula della distanza tra due punti: ________________ KEYWORDS K di distanza tra due punti / distance between two points d (P1 , P2) = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 L ordine con cui sono scelti i punti è del tutto arbitrario infatti, nella formula, la differenza delle coordinate corrispondenti è elevata al quadrato cioè: (x 2 x 1)2 = ( (x 1 x 2))2 = (x 1 x 2)2 perdendo, in tal modo, l informazione del segno. Se due punti coincidono, la loro distanza è 0. Inoltre, poiché l origine O ha coordinate (0 ; 0), la distanza di un punto (x ; y) dall origine è la radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate del punto: ________________________ ___________ 2 2 2 d(P, O) = (x P 0) + (y P 0) = x P + y P2 esempi O Calcola la distanza tra i punti A (0 ; 3) e B ( 1 ; 5). I punti A e B non hanno in comune né l ascissa né l ordinata quindi utilizziamo la formula: ____________________________ d(A, B) = (x B x A)2 + (y B y A)2 = y 1 O A ___________________________ = ( 1 0)2 + ( 5 ( 3))2 = _ _ = 1 + 4 = 5 1 B x APPROFONDIMENTO A C Come vedremo più avanti per le operazioni tra radici quadrate valgono le_seguenti proprietà: _ _ ab = a b _ _ a a _ _ = _ ; con b 0 b b Inoltre: _ _ _ a b a b Particolare attenzione va posta a quest ultima proprietà perché è errore molto_comune scrivere: _ _ a b = a b perché, mentre: _ _ 16 + 9 = 25 = 5 è corretto _ _ 16 + 9 = 4 + 3 = 7 è sbagliato. 199