1 Insiemi, proposizioni e relazioni La proposizione è composta da due proposizioni elementari: A: «Hai 6 in tutte le materie B: «Sei promosso I protagonisti della matematica Esaminiamo tutti i casi possibili. A B V V «Hai 6 in tutte le materie e sei promosso La regola è stata rispettata: la proposizione è vera V F «Hai 6 in tutte le materie e non sei promosso La regola non è stata rispettata: la proposizione è falsa A B F V «Non hai 6 in tutte le materie e sei promosso vera: è ben possibile che tu abbia voti maggiori di 6 e, quindi, non possiamo dire che la regola non è stata rispettata F F «Non hai 6 in tutte le materie e non sei promosso La regola è stata rispettata: è vera L unico caso in cui l implicazione A B è falsa è quando a una premessa vera corrisponde una conseguenza falsa. Se la premessa è falsa, l implicazione è sempre vera. L implicazione A B è falsa soltanto nel caso in cui la premessa A è vera e la conseguenza B è falsa (tavola di vertià a lato). Aristotele (384-322 a.C.) è stato un filosofo e scienziato greco dai molteplici interessi. Si occupò anche di logica sviluppando lo schema di ragionamento chiamato sillogismo cioè un argomentazione costituita da tre proposizioni connesse in modo che dalle prime due, assunte come premesse, si possa dedurre la terza quale conclusione. A B A B L implicazione A B può, in matematica, essere espressa anche in uno dei seguenti modi: V V V A è condizione sufficiente per B; Q B è condizione necessaria per A. V F F F V V F F V Q Per esempio, l implicazione «Se la città Pécs è in Ungheria, allora è in Europa può anche essere riformulata in uno di questi modi equivalenti: «Essere in Ungheria è condizione sufficiente perché Pécs sia in Europa oppure «Essere in Europa è condizione necessaria perché Pécs sia in Ungheria ATTENZIONE! A SSono scritture equivalenti: Q A B Q A è condizione sufficiente per B Q B è condizione necessaria per A Costruiamo la tavola di verità della proposizione nonA o B e confrontiamola con quella dell implicazione A B. La tavola di verità di nonA o B è: A B nonA nonA o B V V F V V F F F F V V V F F V V La proposizione nonA o B è falsa soltanto nel caso in cui A è vera e B è falsa: la sua tavola di verità è identica a quella di A B. La proposizione A B e la proposizione nonA o B hanno tavole di verità identiche, hanno cioè uguali valori di verità in corrispondenza di ogni caso possibile. Quando ciò accade si dice che le proposizioni sono logicamente equivalenti ed è possibile sostituire l una con l altra. 19