3.3 L’implicazione e la doppia implicazione

RELAZIONI E FUNZIONI Tautologie e contraddizioni APPROFONDIMENTO A A Anche tra i connettivi logici, come tra le operazioni, occorre stabilire regole di precedenza. Innanzitutto le parentesi costituiscono priorità. I connettivi vanno poi letti in questo ordine: negazione prima di congiunzione prima di disgiunzione. Una scrittura quale: nonP o Q e nonR va dunque letta come: (nonP ) o (Q e (nonR)) Per evitare ambiguità, è meglio eccedere in parentesi. Quando una proposizione è composta con più connettivi, la sua tavola di verità permette di stabilire il valore di verità di tutti i casi possibili. Analizziamo, per esempio, il valore di verità della proposizione: A e non(nonB o A) qualunque siano le proposizioni A e B. Costruiamo la sua tavola di verità. Nella prima colonna scriviamo i valori di verità di A e nella seconda quelli di B, in tutte le combinazioni possibili. Nelle altre colonne scriviamo via via le varie parti che formano la proposizione e quindi i valori di verità corrispondenti. A B nonB nonB o A non(nonB o A) A e (non(nonB o A)) V V F V F F V F V V F F F V F F V F F F V V F F La proposizione data è sempre falsa, indipendentemente dal significato e dal valore di verità di A e di B. esempio O Verifica che la proposizione P o nonP è sempre vera, mentre la proposizione P e nonP è sempre falsa. Q Q Q Q FISSA I CONCETTI p nonP P o nonP P e nonP I connettivi logici e ( ), o ( ), aut ( ), non (¬) servono per comporre delle proposizioni: le proposizioni composte. La tavola di verità permette di determinare il valore di verità di una proposizione composta. Tautologia: proposizione sempre vera. Contraddizione: proposizione sempre falsa. V F V F F V V F ATTENZIONE! A Ri Ricorda che lo 0 è un numero pari perché è divisibile per 2: 0:2=0 DEFINIZIONE Si dice tautologia una proposizione composta che è sempre vera, qualunque siano i valori di verità delle proposizioni che la compongono. Si dice contraddizione una proposizione composta che è sempre falsa, qualunque siano i valori di verità delle proposizioni che la compongono. Se A è una tautologia, nonA è una contraddizione e viceversa. Un esempio di tautologia è «Un numero naturale è pari o dispari ; un esempio di contraddizione è «Un numero naturale è pari e dispari . 3.3 L implicazione e la doppia implicazione KEYWORDS K sse allora / if then 18 Un altro connettivo che permette di costruire proposizioni composte è l implicazione: se A allora B, che si indica: A B La proposizione A è chiamata premessa, la proposizione B conseguenza. Riprendiamo un esempio già considerato. La regola per la promozione in una scuola è la seguente: «Se hai almeno 6 in tutte le materie allora sei promosso

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.