2.2 Le potenze con esponente negativo

ARITMETICA E ALGEBRA Tale ragionamento può essere ripetuto per qualsiasi altra base non nulla: a n : an = 1 an : an = an n = a0 In generale stabiliamo che: a0 = 1 per ogni a 0 FISSA I CONCETTI Per ogni numero reale a diverso da 0 abbiamo: a 0 = 1. Per a = 0 l espressione 00 non ha significato. Deve essere escluso, tuttavia, il caso in cui anche la base a sia uguale a 0. Per quanto detto sopra, sarebbe infatti: 00 = 0n n = 0n : 0n = 0 : 0 ma poiché non è possibile dividere per 0, l espressione 00 non ha significato. 2.2 Le potenze con esponente negativo Consideriamo un altro esempio di divisione di due potenze con la stessa base: 55 : 57 Anche in questo caso seguiamo due diverse procedure di calcolo: per la proprietà della divisione di potenze con uguale base, abbiamo: 55 : 57 = 55 7 = 5 2 per le proprietà delle frazioni, abbiamo: 55 5 5 5 5 5 1 55 : 57 = __7 = ________________ = __2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 I due risultati devono coincidere e, quindi, stabiliamo che: 5 2 = __2 5 Il ragionamento può essere ripetuto scegliendo una qualunque base non nulla; abbiamo: n 1 1 a n = _n che può anche essere scritto come _ per ogni a 0 (a) a Dobbiamo nuovamente escludere il caso in cui la base a è uguale a 0 in quanto: 1 1 0 n = _n = _ 0 0 e tale scrittura non ha significato, poiché non è possibile dividere per 0. Possiamo dunque considerare anche potenze con esponente negativo ed estendere a esse le proprietà delle operazioni stabilite per gli altri casi. a Complessivamente, elevando una frazione non nulla _ a un esponente negativo b abbiamo: a _ n (b) n b bn = _ =_ (a) a n Il segno dell esponente ha l effetto di invertire la base. In particolare, la potenza con esponente 1 dà come risultato il reciproco della base: 1 2 1 = __ 2 1 ( 3) 1 = __ 3 _3_ 1 _4_ (4) = 3 Poiché il reciproco di un numero è il suo inverso rispetto alla moltiplicazione, ciò giustifica la regola della divisione tra frazioni: 1 3 7 21 _3_ : _4_ = _3_ _4_ = __ __ = ___ 5 7 154 5 (7) 5 4 20

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.