ARITMETICA E ALGEBRA 1 Le potenze: esponente Esercizi da pag. 172 naturale 1.1 La definizione di potenza KEYWORDS K b / base base esponente / exponent potenza / power La scrittura an si legge a elevato a n e indica l operazione di elevamento a potenza: il numero a è detto base, il numero n è detto esponente. La potenza è il risultato di una operazione derivata dalla moltiplicazione. Infatti: DEFINIZIONE se a indica un numero reale e n indica un numero intero positivo, definiamo elevamento a potenza l operazione: an = a a a a n volte FISSA I CONCETTI La potenza di un numero è il prodotto di più fattori uguali a quel numero. La potenza n-esima di un numero a, cioè an è il prodotto di n fattori uguali ad a. Se n è uguale a 1, non abbiamo alcuna moltiplicazione da fare quindi a1 = a. Per esempio: 43 = 4 4 4 = 64 ( 3)3 = ( 3) ( 3) ( 3) = 27 04 = 0 0 0 0 = 0 15 = 1 1 1 1 1 = 1 Gli ultimi due esempi evidenziano che: se la base è 0 e l esponente è un qualsiasi numero intero positivo, la potenza è 0; Q se la base è 1, la potenza è 1, qualunque sia l esponente. Q Quando abbiamo un prodotto o un quoziente tra due potenze aventi la stessa base o lo stesso esponente, è utile applicare alcune proprietà che derivano dalle proprietà delle operazioni e dalla definizione di potenza a esponente naturale. Q Q Q Q ATTENZIONE! A N esistono proprietà delle Non potenze con le operazioni di addizione e sottrazione anche se le basi o gli esponenti sono uguali. 22 + 23 25 infatti 4 + 8 32 52 32 22 infatti 25 9 4 Q Prodotto di potenze con la stessa base: am an = am+n Esempio: 23 24 = 23+4 = 27 Quoziente di potenze con la stessa base (con a 0 e m > n): am : an = am n Esempio: 59 : 56 = 59 6 = 53 Potenza di potenza: (am)n = am n Esempio: (43)2 = 43 2 = 46 Prodotto di potenze con lo stesso esponente: an bn = (a b)n Esempio: 32 42 = (3 4)2 = 122 Quoziente di potenze con lo stesso esponente (con b 0): an : bn = (a : b)n Esempio: 63 : 33 = (6 : 3)3 = 23 1.2 Base positiva o negativa, esponente pari o dispari Esaminiamo il caso in cui la base è un numero negativo. Consideriamo, per esempio, le seguenti potenze di 2: ( 2)4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = +16 ( 2)3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 Osserviamo che nel primo caso il risultato (cioè la potenza) è un numero positivo, mentre nel secondo caso è un numero negativo. Ciò dipende dall esponente a cui è elevato 2. 152