RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 56 3 Le proposizioni 3.1 Le proposizioni e le formule aperte Una frase che può essere vera oppure falsa è detta proposizione. Nell insieme dei numeri naturali le frasi «Sette è un numero dispari e «Quattro è un numero primo sono due proposizioni: la prima è vera, la seconda è falsa. Nell insieme delle parole della lingua italiana le frasi «Sette è una parola bisillaba e «Quattro è una parola bisillaba sono entrambe vere. Sinteticamente una proposizione è una frase che può avere due possibili valori di verità: V (vero) oppure F (falso). Non tutte le frasi che possiamo scrivere sono proposizioni. Per esempio non lo sono frasi quali: «Tre divide nove? oppure «Quanto è bello! . La prima perché pone una domanda, anziché affermare qualcosa, la seconda perché non è un affermazione, ma solo un esclamazione. Anche nei casi più semplici, una proposizione è composta almeno da un predicato (un verbo) e dai suoi argomenti (gli oggetti a cui il predicato si riferisce). 3 , il cui valore di verità è V, il 7 è maggiore di _ Per esempio nella proposizione «_ 7 3 3. 7e_ predicato è «essere maggiore , gli argomenti sono le frazioni _ 3 7 esempio O Indica quali delle seguenti frasi sono proposizioni. a. 9 è divisibile per 3. una proposizione vera, il cui predicato è «essere divisibile e i cui argomenti sono i numeri naturali 9 e 3. b. Quanto fa 2 più 2? Non è una proposizione. c. 3 è un numero pari. una proposizione falsa il cui predicato è «essere un numero pari e che ha come unico argomento il numero naturale 3. A una frase che contiene una variabile non possiamo attribuire un valore di verità, perché il suo essere vera o falsa dipende dal valore che sostituiamo alla variabile. Per esempio non possiamo stabilire se sia vera o falsa la frase «x è maggiore di 7 . Infatti se, per esempio sostituiamo alla x il valore 5 otteniamo una proposizione falsa mentre se sostituiamo 8 ne otteniamo una vera. Quindi, quando una frase contiene una variabile non possiamo stabilire il suo valore di verità. Una frase di questo tipo è detta formula aperta. Se sostituiamo alla variabile un numero, la trasformiamo in proposizione. FISSA I CONCETTI Q Q Q Una proposizione è una frase della quale si può dire se è vera oppure falsa. Il suo valore di verità è V o F. Una proposizione è formata almeno da un predicato e da uno o più argomenti. Una formula aperta è una frase che contiene una o più variabili. 14 La proprietà caratteristica che definisce un insieme, cioè che indica in termini generali i suoi elementi, è una formula aperta. Per esempio, l insieme dei numeri pari può essere definito come «Insieme dei numeri x tali che x è divisibile per 2 . Lo scriviamo in questo modo (indicando l espressione «tale che con una barretta verticale): P = {x x è divisibile per 2} L insieme è così definito scrivendo la proprietà caratteristica come formula aperta: l insieme è formato da tutti e soli gli elementi che, sostituiti alla variabile, la trasformano in proposizione vera.